自作問題が自分でもとけなくて困ってるんですが、、、 ->画像>1枚

問題(類題などはあると思われますが)
2^rの桁の中で、0が最も多く連続するときの0の個数を、f(r)とします。rは自然数全体を動く時、f(r)の最大値は何になるか
です。(問題文自体が間違ってたらすみません)
例えば、f(1)やf(3)などはゼロですし、f(10),f(11)などは、1024,2048なのでどちらも1です。
たとえば400581000194...となるようなものがあった場合、0が三つ続いてるのが最大数なので、
その時のfは3です。
(長文失礼しました)

こんな解き方はどうかな？
程度でもいいのでレスを下さると嬉しいです。

limsup f(r) = ∞
∵ weyl の一様分布定理

f(r)≧2となるrは無限に存在することが言える