>>4 証明
1. 単調収束列の構成
まず、各自然数 n と任意の x∈X に対して、
g_n(x) = \inf_{k \geq n} f_k(x)
とおきます。このとき、{gn} は非負可測関数の上昇列となり、gn(x)↑liminfn→∞fn(x) が成り立ちます。
2. 単調収束定理の適用
単調収束定理より、
\lim_{n \to \infty} \int_X g_n d\mu = \int_X \lim_{n \to \infty} g_n d\mu = \int_X \liminf_{n \to \infty} f_n d\mu
が成り立ちます。
3. 不等式の証明
任意の n に対して、gn(x)≤fn(x) が成り立つため、
\int_X g_n d\mu \leq \int_X f_n d\mu
が成り立ちます。両辺の n に関する下極限をとると、
\lim_{n \to \infty} \int_X g_n d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu
となります。2. で得られた結果と合わせると、ファトゥの補題が証明されます。
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