高校数学バクテリアの増殖　わからん(´・ω・｀)

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1１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 01:21:57.40ID:T1LQV+kT

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平均すると時間Tごとに1回分裂して増殖するバクテリアを培養しているとする。
時刻tにおけるバクテリアの量をx(t)とし、、極めて短い時間Δtの間の増加するバクテリアの量をΔxとする。
Δxがx(t)に比べて無視できるほど小さいなら、
Δx≒(Δt/T)*x(t)
が成り立つと考えてよいので、時刻t+Δtにおけるバクテリアの量は、
x(t+Δt)≒x(t)+(Δt/T)*x(t) ・・・①
となる。
ただし、この関係は、時間Δtが小さいときにだけ近似的に成り立つのであって、Δtが大きくなると、その間にx(t)が変化してしまうからこのような関係は成り立たなくなる。
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引用：旺文社「長岡先生の授業が聞ける高校数学の教科書数学I・A・II・B[数列・ベクトル]・III・C[行列・曲線・確率分布]」
数学III 6章積分法の応用 P195
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■質問
上の文章の
「ただし、この関係は、時間Δtが小さいときにだけ近似的に成り立つのであって、Δtが大きくなると、その間にx(t)が変化してしまうからこのような関係は成り立たなくなる。」
の箇所がわからない。
①なんで、Δtが大きくなると①式が成り立たなくなるの？
②Δtが大きくなるとき、その間にx(t)はどんなふうに変化するの？

教えてクレメンス(´・ω・`)

2１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 01:46:26.18ID:HC2UFUvP

ｎ

3１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 10:45:29.64ID:PtUVBYpt

Def:
実数列{a_n}_nが"上に有界"であるとは、ある実数Mが存在して、すべてのnに対して

a_n ≦ M

となることである。この性質を満たすMを{a_n}の"上界"という。

不等号を逆にした条件を満たす場合は"下に有界"といい、そのようなMを"下界"という。

4１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 10:47:41.03ID:PtUVBYpt

>>3
訂正:
やはり、より一般に集合に対して定義する

Def:
実数の集合Aが"上に有界"であるとは、ある実数Mが存在して、すべてのa∈Aに対して

a ≦ M

となることである。この性質を満たすMを"Aの上界"という。

不等号を逆にした条件を満たす場合は"下に有界"といい、そのようなMを"Aの下界"という。

5１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 10:52:32.82ID:PtUVBYpt

Ex:
A = (a, b)（a < b）とする。

Aの上界の集合は[b, ∞)
Aの下界の集合は(-∞, a]

である。

6１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 10:56:37.45ID:PtUVBYpt

Def:
Aを実数の集合とする。

Aの上界の最小値が存在すれば、それを"Aの上限"といい、sup(A)と書く。
Aの下界の最小値が存在すれば、それを"Aの下限"といい、inf(A)と書く。

7１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 11:02:11.00ID:PtUVBYpt

我々は以下を公理として認める。

Axiom:
Aを実数の集合とする。
Aが上に有界ならば、Aの上限がRに存在する。

Cor:
Aが下に有界ならば、Aの下限がRに存在する。

8１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 11:09:23.97ID:PtUVBYpt

Ex:
考えている数体系を有理数に限定すると、>>7の性質が満たされないことを見よう。

有理数列A = {a_n}を以下で定義する。

a_0 = 1
a_1 = 1.4
a_2 = 1.41
...
a_n = (√2の小数n位までの展開)

このとき、Aは上に有界な有理数の集合であるが、Aの上限は√2であり、これは有理数ではない。

これより、極限を考察するときは、有理数の範囲内だけでは不十分であることが分かる。

9１３２人目の素数さん2021/03/21(日) 11:15:12.67ID:PtUVBYpt

次回は、数列の極限を定義して、上に有界で単調増加な実数列がその上限に収束することを証明します。

高校数学 バクテリアの増殖 わからん(´・ω・｀)

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