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出題１
>>8 ギリシャの幾何学。。
何もぼかせていない気が
だめですよーヒント過多はw
PDF ファイルを送信かよ
消印締め切りまであと5時間弱です。
時間はまだたっぷりあります。ネバーギブアップで頑張っていただきたい。
要所で粘れるか、それとも簡単に諦めてしまうか、生き様が試されます。
でも今月2問を5時間で解くのははっきり言ってつらい。
私は時弘先生の大ファンですが、彼の問題は秋の行楽シーズンにはそぐわない。
他に誘惑のないじとじとする梅雨の時期、またはコタツがぬくい極寒の時期にじっくり楽しみたいものです。
>>10-11 初回はなんとなく手違いが起こりそうでpdf送信は回避しました。
答案チェックが大変になりそうですが、大丈夫なんでしょうか。
10月号
>>13 > 最大点λは存在するんだろうか？
複素数ν = λ + iμ ∈Ｃ に対して
|ν-z|/|ν-w| = f の軌跡を考える。(f≧1)
f=∞ では1点w であるが、fが有限のときは wを内包する閉曲線となる。
fを減らせば閉曲線は膨らみ、f=1 では {z, w} の垂直2等分線となる。
(2) の場合、実軸Ｒと垂直2等分線は交わる。
fを∞から減らして行き、初めてＲに接した点がλである。
ところで、λは１つしかないか？
>>14 > λは１つしかないか？
ν∈Ｃ と f≧1 に対して
g(ν, f) = f^2|ν-w|^2 - |ν-z|^2 とおく。{z, w} は定点。
g(ν, f) < 0 ⇔ νは閉曲線の内部
g(ν, f) > 0 ⇔ νは閉曲線の外部
g(ν, f) = 0 ⇔ νは閉曲線の周上
g((ν1+ν2)/2, f) = {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2 -(ff-1)|(ν1-ν2)/2|^2 ≦ {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2,
より
g(ν1, f) = g(ν2, f) =0 ⇒ g((ν1+ν2)/2, f) ≦ 0,
周上の2点 ν1, ν2 の中点は閉曲線の内部にあるので、閉曲線は凸である。
∴ 実軸Ｒに初めて接する点λはたた一つ。
こうしてギリシャの幾何学は回避された。ペキン原人やクロマニオン人も解けたかも(?)
nを一度だけ使ってってどういうことだ
ハヤイノー
そうじゃ！！
そうじゃ、わたしが、サボリーマンかず太郎じゃあ。
エレカ、電子公開、goodです。
大学への数学の宿題もやりたいが、私の頭ではそこまでやると本業に支障がでそう。
先程、保管してある、1980年代～1990年代の数セミ、Bacic数学、大学への数学
大学への数学の宿題とエレ解って、どちらの方が難しいの？
>>21 つーか問題１は一発ネタのような気がするが。
小谷善行先生は不調なのかな？
それとも「存在しない」を証明するのが難しいのか？
「遠山 啓先生に敬意を表して、それっぽく説く」
というのもアリな気がするが。
>>25 「荒らしに構うのも荒らし」とは云われるが、
いちおう言っとこう。
受験数学より真剣勝負の数学の研究のほうが大変なので、
傾向としては
『エレガントな解答を求む』>『大学への数学』の宿題
だが、エレ解も「いちおう解答は用意されている」し、
たまに「小手試し」的な出題もあるので、
予備校生にとってはエレ解のほうが手ごわいと思う。
まぁ、「お子ちゃま には、エレ解の味はわかんないよな（笑）」
みたいな優越感はあると思われ。
ようやく題意がわかったように思う。
二〇一八年十一月号の問題１について。
エレカ、柏原先生、森重文先生、辻雄先生、神保先生etcも昔解答されておられます。
>>30 > 森重文先生、
まじか。出典キボンヌ。
森重文先生は、京大時代に解答されておられる。エレガントな解答を求む問題集1集or2集
やっぱ、NOTE掲載を目指そう。
2018年10月号の講評です：
高木寛通先生は、大学への数学の宿題解答者だったみたいだ。
>>32 > 皆数学少年じゃったのじゃよ。
そういえば広中先生も京大なんだよなぁ ……
SSS（新数学者集団）とかの話とか、なんか載ってる本とかない？
自分は東日本なんだけど、遠山さんが東大中退だったりするので、
いまいち「東京」って、狭苦しい感じがある。京都って、数学に
向いてる土地柄なのかもしれない、と思って興味があるんだよ。
>>35 そういえば阿部寛も数学少年だったらしいぞ（笑）
ロシアの謎の高校生向け数学物理雑誌、Kvant、レベル高いで。
>>38 いや、面白いのは分かるし、たぶん問題の意味もわかるだろうと
思う（数学は世界の共通言語だ）んだけど、
ロシア語とかハンガリー語とかで解答を書けって言われたら、
ちょっと退く部分はある。
まぁ、「やれ」と言われりゃ やらんでもないけど、
なんかしらコンピュータ言語とかに落としこんで
貰えれば、そのほうが楽なような気がする（笑）。
コテを付け忘れてた。コテなんて要らない気もするが
エレカも総問題数、1300問になる。
フィールズﾒﾀﾞﾘｽﾄ、ショルツ先生、ＩＭＯ金メダリストらしいな。
IMOはレベル高いのおーーー
数学は実戦的だから、スポーツボケを、排除できる司令官に向くだろう。
賞をとれることは、戦果として賞金をもらえることだから。結果がよろしい。
賞やメダルが、主体的じゃない生き方がおすすめです。若い人は特に。
>>40 > はっきり言おう、糞であると。
いや、問題２はともかくも、
問題１は けっこう深いぞ？
あれ、じつは構文解析のアルゴリズムの
計算量とかと関連してくる。
単純に解だけ示すんなら、確かに
「文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度」では
あるのだが、「だったら、なんで自然数限定なのか？」
（べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか
「点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、
考えどころは ありそうな気はする。それを考えた上で
「エレガントな解答」を出そうと思うと、
それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。
>>47 こんばんは。返信どうも
自分はあんまり研究とか発展とか考えずに喋っております
研究肌の方のコメントは深みがありますな
> （べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか
Motoさんだったらどのように実数へ拡張しますか？
> 点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
> その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、
面白いですね。それは考えなかったです
この問題を特にあたっては心配無用なので・・
> それを考えた上で
> 「エレガントな解答」を出そうと思うと、
> それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。
なんか30秒でそれなりにエレガントな解答ができちゃったので、もう今月は羽を伸ばして紅葉にでも行こうかとｗ
でもそれじゃ知的満足が得られないってんで数オリに手をだしたら問題が美しすぎてうっとり
エレ解もこうならんかなと
>>48 > どのように実数へ拡張しますか？
いや、これは単なる例えとして言ってみただけで、
やっても面白くないと思う。
むしろ、出題者の小谷 善行さんは情報工学がご専門なので
有限組合せ問題として考えるのが本筋かな、と。
たとえば、任意の長方形 m × n があったとして、
それに内接する N 角形があったときの最大の N は
いくつかとか、その場合の面積はいくつかとか、
そのあたりの考え方の問題は面白いんじゃないかな、と。
ただ、それをやるとコンピュータによる力業になって
しまいそうなので、エレ解の趣旨から外れる。
問題自体は、もともとプログラミングのほうで
チェッカーボードを使ったパズルがあり、
それがパリティを利用しているので、
「あぁ、それだな」と思った。
それで、ちょっと発展させて、フラクタル図形
とかに向かう方向で、面白い性質が出てくるんじゃ
ないかな、と。あるいは、「1 × 1 の正方形を
辺で接続したときに、頂点の個数と面積と図形の
関係を考える」とか。
すまん。大事な条件を見落としていた。
>>40 > 出題１は文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度
お互い恥をかいたので許そう(-_-!)。
早とちりはイカン、っちゅーこっちゃね。
>>33 「岡、NOTE をねらえ！」
判定の場（court。法廷。「テニスコート」の「コート」も
同義）では 誰でも 独り 独りきり
私の（数学への）愛も 私の苦しみも
数セミ読者しか わかってくれない
続きは誰か書いてくれ。
言っとくけど、うちの馬鹿（Mr.Moto）は三味線弾いてるっつーか、
出題１
解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ…
>>53 「横井庄一のサバイバル極意書 ～ もっと困れ！」小学館 Be-pal books (1984/Jan)
181p．絶版
>>56 いや、奇数でないことを示すのが
意外に手ごわいっちゅーかキモっちゅーか。
合計が N (N + 1) / 2 なんで、「N または N + 1 の
どっちかが８の倍数」が必要条件なのは分かるが、
たとえば N ＝ 7 のときの解がないことを
エレガントに示すのに手こずっている。
もう一点は、N が８の倍数のときに、必ず
N 角形が存在することの証明がどう示せるかだ。
１６角形とかいうと、「後戻り」の可能性もあれば
辺が途中で交差してしまうケースも排除せんと
いかんだろうし。
>>57 「N角形になる」のであれば N個の頂点で曲がっているはず。（本問では垂直に）
うむ。始点と終点のつながりを考えると、奇数だと明らかに不可。
>>59 うむ。確かに「明らか」なんだが、
それを「中学生にもわかる」ように
「示す」のがエレガンスだと思う。
数学マニアにとっての「明らか」さは、
必ずしも数学初心者にとっての
「明らか」さではないところが
悩みどころ。
整数論（というか、自然数論）の範囲内だと、
「古代バビロニア人にも説明できる」くらいまで
ガッチリ組まないと いかんと思う。
・水平な辺 >>58 いいのかな？これくらいなら。
>>60 えっ、各頂点の角度が90度または270度の多角形が偶数角形なの、そんなに証明が難しいか？
>>63 > そんなに証明が難しいか？
「エレガントな解答をもとむ」なんだから、
エレガンスを追求しろと言っている！
『数学セミナー』の創刊者は
遠山 啓先生なんだから、「テープ算」みたいな
「中学・高校生にも直観的に理解できるような
シェーマを提示する」っつーのが、
重要なんだよ。エレ解は、「正解すりゃあ入選」みたいな
甘いモンじゃねぇんだぞ？
>>64 激しく同意
むしろ引っ掛けとか
誤誘導のほうが
マシ
>>67 安心しろ。『スパイ大作戦』を知らない奴は
多いだろうが、『ミッション・インポッシブル』は
映画でシリーズ続行中だ。
つーか、朝方なにげなく TV をつけてると、
クインシー・ジョーンズの『アイアンサイド』とか
『ミッション・インポッシブル』が、BGM として
流れていたりするので「変わんねぇなぁ ……」と
思う。
まぁ、エレ解スレでするネタじゃねぇとは思うが。
1月号のICMレポが楽しみじゃあ。
以前「幻の0番法」という記事があったのですが
>>72 それ、「エレ数」だったかなぁ ……
共立出版の『bit』で出てきた
「生贄」の話のような気がする。
n = 1 から始まる数列に、
n = 0 の項を つけ加えて一般化するとか。
たとえば「1 から n までの和」だったら、
「0 から n までの和」としてもイコールだから、
「n ×（n + 1）」でいいとか。
「（n + 1）× 1」よりエレガントな
感じがしないか？
×「（n + 1）× 1」
>>75 まったくのスレ違いだが、
デイヴ・ブルーベックの
“Take Five” を忘れてはいけない。
ごめん。今月号（二〇〇八年十一月号）の問題１に関してはパス。
一応解は作れたけど、ちゃんと(交わらない)多角形になってるのを証明するのが面倒だなぁ。
必要条件の導出のとこもそうだけど、
>>79 「少なくとも、一個以上存在する」のを示せばいいんじゃね？
「魔円陣」みたいに、「あると思ったら解がなかった」
みたいな話を排除すりゃいいんだと思われ。
解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ…
>>55 >>82 そうじゃない。
「解がない」ケースは排除できるんだが、
「解がありそうな」ケースにおいて、
具体的な解が あることを
証明できるか どうかが問題なんだ。
この中に大学への数学の宿題もやってる人いる？
宿題コーナー：問題をネット公開してないから、田舎住んでるおいらには情報入手がねっく。
ICMレポでは受賞者のIMO履歴レポも楽しみにしとります。
【え！ 総人口２５０万人減少？】 早く移民で水増しないと、■■■が原因だと、無関心層に気づかれる
http://2chb.net/r/liveplus/1540952533/l50 >>84 もちろん 数オリです。
[前スレ.543, 554, 566, 577]
>>84 そんなこと訊かれちゃ KöMaL なぁ。
[前スレ.581, 592, 960-963]
エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続。
ICM各種賞の受賞者のIMO出場歴には関心あり。
11月号
>>95 >
> N=8n に限ることは容易に分かると思う。
>
限らんやろ？
水平 : 1 6 12 と 3 5 11
垂直 : 2 8 10 と 4 7 9
にわけて
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
でいけるやん。
>>96 辺の長さが順に1～Nになるって問題文の最初に書いてある。
今回はみんな問1に興味があるようだね。俺は解けなかったよ。問2だけ応募した。
>>99 順に、だよ。
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
は順になってない。
実をいうと自分もこの順にというのを見落としていて、だいぶたってから気づいた。
12月のエレガントな解答はどうかね。
でもまぁ8n+4の場合が増えるだけで自由に並べていいなら十分性のチェックがやや楽になるからなぁ。
11月号
>>106 ２次曲線は楕円、放物線、双曲線に限るという事を認めてしまえば一瞬だけどそれを証明しなさいというやつなんだよね。
容易”、”自明”で済まされることも高校の教科書レベルで許されるまで下げないといけない。
その前提で楕円、双曲線の定義も “うまく座標をとればAx^2 + By^2 = 1の形になる。”として
x^2+y^2 = 1の像をAx^2+By^2+Cxy=1として
2(Ax^2+By^2+Cxy) = r^2((A-B)cos2θ+ Csin2θ+(A+B))=r^2(Dcos(2θ+α)+E)=2と変形される。
回転させればr^2(cos(2θ)+F)=Gとなる。
変形してr^(2cos^2θ+F-1)=Gだから2x^2 +(F-1)(x^2+y^2)=lであり楕円、直線、又は双曲線となる。
コンパクトなので楕円。
とかでどう？たしか大数はこんな感じの解説だった。
18年11月号の講評：
確かにIMOは格式高いの。
束の間の静けさ。
数学と 文学と 天文学あわせて、人文科系に新しい天文数学という分野を立ててみたい。
来月は京大ガロア祭の問題解説もあるようですね
>>106 原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D'･cos(2θ+α) + E',
原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。
番外問題 焦点はOPmax の方向にある。
>>93 >エレガント問題のネット公開→good idea。投稿の有無に関係なく問題挑戦→正解が知りたくなる→数セミ購入→販売促進→末永く継続
正解者として名前が載った回の数セミは買って手元に置いておきたい、という読者心理を巧く掴んでいる気がしますね
12月号はピーターフランクルと岩沢先生の解答号でもあります。楽しみですね
http://2chb.net/r/math/1476702312/971 >>107 それがこの問題の模範解答でしょうね。
個人的には座標変換を記述するのに行列を使うか三角関数を使うかは非常にどうでもよく、従って
>>108 のような素っ気無いコメントになってしまいました。
たまに大学範囲の簡単な問題に対して「中高生でも分かるような解答」を要求する出題者が居ますが、ああいうのは苦手です。
三角関数を捏ねくり回すよりも、一次変換の基礎を書き下して本質を抉った方がよっぽど中高生のためになるんじゃないかと思ってしまいます。
とはいえ10月は忙しかったので問題が簡単で助かりました。
12月号が届くまでの間、束の間の雑談。
10月号の時弘先生の問題
>>34 が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。
「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。
皆さん、束の間の紅葉見物でしょうか？
>>122 関東の平地は来月頭にかけてピークですかね。
標高高めのところは今がピークか、終わりかけているところでしょう。
今年は時弘先生が10月号にずれてくれたので旅行の計画に余裕が生まれましたw
時弘先生の重量級は旅行シーズンは外してほしいですね。
>>125 まったくです。
岩沢先生も行楽シーズンは駄目です
問題が魅力的かつ難しいので。
時枝先生は問題出さないのかなー
とここを見ているかも知れない編集部の方に向けて呟いてみる
電子版、エレガント。まだ更新されとらんどす。
エレ解は難しすぎるから、大学への数学の宿題にチャレンジするわ
今月の1は、pを既知として良いか否かで違うが、前者だと3秒で解けるから後者なんだろうな。それでも
>>128 宿題ですか。なつかしいですね。
問題教えてくれれば解いてみたいですけど。
コインはさておき、ジャンケンで決めるなんてのはどうだろう
なんか期待値の最小値で評価するのすごい違和感あるな。
>問題 2 の答えは，いろいろと考えられるが，上記の期待値の最小値が小さいほど良いものとしよう．
出題2ってwww
>>136 p=0またはその極限だと永久に決まらないから、なかなか難しいかと。
あ、ホントだ。最小値にせざるを得ないのか。
問題文中にさらっと書いてあるけど、できるだけ公平になるようにするっていうのは暗黙の了解なのかな。
だろうね。
出題1、意外に難しい。すぐ思い付いた方法、全然公平じゃなかったわ。
出題１→あっさり解けてしまった。もしかしたら、出題意図に反した解答かもしれないが。
え？そんなにあっさりとける？
そうそう。これ正面から解釈して本当に解ある？って疑い始めてるけど。
>>119 9月号出題の解答を貼っとく。
■出題1
2020 = 2×2×5×101
M = 5×10^226 -20 -3×10^223 -5×10^224
= 49469･･･(221ｺ)･･･980, (227ｹﾀ)
* [前スレ.964] (228ｹﾀ) は間違い。
2019 (素数)
M = 6×10^224 -1 -10^19 -10^223
= 589･･･(203ｺ)･･･989･･･(19ｺ)･･･9, (225ｹﾀ)
2018 = 2×1009
M = 6×10^224 -2 -10^35 -10^204
= 59･･･(19ｺ)･･･989･･･(168ｺ)･･･989･･･(34ｺ)･･･98, (225ｹﾀ)
■出題2
ラッキーナンバーが 0,3,5,7 のとき確実作戦が存在する。
その他 (1,2,4,6,8-14) のときは存在しない。
>>146 そう。裏技を用いると、意外な解が得られる。
果たして、それが許されるのか
自分なりのエスパー解釈。
出題1分かったー。いや、これは面白い！
>>147 2019は素数ではない。
2019=3×673
>>150 例えば表裏表で勝負が付いた場合は、それより長い表裏表裏なんかは必ず同じグループに入れるなりカウントしないなどの措置が必要になる。
この辺りが面倒なんだよこの問題。
>>153 一個目の条件でオウオとオウオウのような背反でない事象はとらないようにしてる。
まぁ難しい。
これかな？と思い当たるのはあるんだけど最小性の証明ができてないからなぁ。
まぁできても応募する気なんぞサラサラないからいいんだけど。
しかしおそらく出題者は最小性の証明持ってるだろうし出来ないのなんかムカつくので熟考中。
問題文の文面ではとりあえず答えだけ合ってればいいみたいな事は書いてたけど、おそらく何人かは最小性の証明付きで応募してくるだろうね。
出題１の(２)って、
それで題意にあった解答になってると思うならそれで投稿してみればよし。
>>155 そうならないように問題文で巧みにブロックされてるように見えるが、俺の想像の範囲外なら分からん。
とりあえず応募
大学への数学の宿題とエレ解って、どちらの方が難しいの？
でも、日本の入学試験史上最難問と言われる98年後期理系第3問は解ける気がしない。
http://examist.jp/legendexam/1998-tokyo/ 高橋くん、大学への数学の宿題に正解してたね
東大が毎年難問ではない。私立もあるし国立地方、県立、内部進学の数学まであるのに。
嵐 寛壽郎 （1902/12/08～1980/10/21） 映画俳優、映画プロデューサー。「鞍馬天狗」
出題1、最後が無限総乗になって解けなかったけど、あれはそのままで良いのかな？
出題１の問題２は
18年12月号の講評です。
今月は2問とも歯応えのある良問でした。
https://www.web-nippyo.jp/10317/ （すでに1月号の問題が出ている）
■出題１：レベル6以上（常連正解率75%以下）
上原隆平先生の良問。
表の出る確率pの歪んだコインを使って公平な勝負を行う。
問1は2回投げて表→裏、裏→表ならそれぞれAさん、Bさんの勝ち。
それ以外はやり直しとするルールのもと、期待値と期待値の最小値、それを与えるpを求める。
問2は問1より期待値が小さくなるルールを考える。
問1は簡単な計算問題。問2は難しい。
問1の勝敗条件をキープしつつ、ある回数を区切りとして
勝ち負けの条件を再帰的に定める方法がある。
この方法を採ると期待値は無限積となり最小値は問1の値を下回る。
>>151 氏は早い段階で無限積に到達している。
以前お世話になった早解きさんでしょうか。
■出題２：完答レベル8以上（常連正解率20%以下）
奥田隆幸先生のエレガントな難問。
n個の実数a_1,a_2,...,a_nがある。
s_kを(1)a_kを-1倍、(2)a_{k-1},a_{k+1}にa_kを加える操作と定義する。
この操作を繰り返しすべて非負となったらゴールというゲーム。
問1は初期値によらずゴールできること、
問2は手順によらずゴール状態が1通りであること、
問3は左右対称形からスタートするとゴールも左右対称であることを示す。
問1はマイナスを掃き出す手順を1つ見つければよいだけ。
問2は行列群を考える方法があるが、解き切るのは難しい。
問3は問2の結果であるゴールの一意性を前提とすればゴリ押しでもなんとかいける。
つまり左右対称形でゴールできる手順を1つ見つければよい。
それは比較的簡単に見つかるが厳密な論証は簡単ではない。
エレガントに解いた方のコメントもとむ。
出題２は原題が Peter Winkler のパズル本に殆ど同じ出題があります。
>>186 > 問2は行列群を考える方法があるが、解き切るのは難しい。
行列の方法は見通しが悪そうに見えたのですが、そんなことはなかったですね。
> ■出題２：完答レベル8以上（常連正解率20%以下）
Winkler本にある有名問題ということでレベル5～6（常連正解率75%以上）に訂正。
>>189 Π[i=0,∞] (1 ＋ (1/2)^{(2^i) -1}) = 3.4014709905728…
出題１の小問２
>>195 なるほど。で、次にその確率１／２をどうやってこのコインで作り出すかを考えないと
→最初に戻る
>>196 確かに。
｢第三者に公平に｣決めてもらうためのコインが必要になりますね。
堂々巡りになってしまうのか。
1月号が届きました
>>34 > ■出題１：レベル6～7（常連正解率60～80％）
> ※スツルムの定理不使用の場合レベル10（正解者0～2名）
>>121 > 10月号の時弘先生の問題
>>34 が中高生の範囲で解けるのかどうかは気になります。スツルムの定理を前提知識として要求しているとは思えませんから。
>
> 「中高生の範囲」というのも考え始めると良く分からなくなってきますがね。スツルムの定理を理解するのに必要な知識は高校範囲の微分だけですからね。
> 一次変換だって少し前は高校でやっていたわけで。行列の知識を使わないで解くのが出題者の狙いだったとして、そのココロは私にはよく分からんですね。
時弘先生の解答編を流し読み。
スツルムの定理を知っていることが前提の問題でしたw
読者に媚びない時弘先生は今年も健在でした
1月号の出題2は既知の定理の別解法を求めるもの
>>194 私の方法は、
のようなパスカルの三角形の一番上からスタートして、表なら左下、裏なら右下に
一つずつ移動し、偶数に当たったら終了するというもの。勝ち負けは、最後の表裏で決める。
最小性の証明は書けなかったけど、こんな感じかな。
パスカルの三角形は、そこに至るまでの経路数を意味するから、コインを停止
するまでの表裏の出方の総数に等しい。（ただし、それ以前に勝負が付いた時も
その回数までコインを空投げするとする。）
各コイン投げ停止位置では、この総数のうち半数がAの勝ち、半数がBの勝ち
でないと上手く行かない（要証明）。そのため、コイン投げが停止するのは
偶数の位置である必要があり、その中では、上に書いた方法では偶数に当たった時点で
停止しているため最小の手段を実現している。
問題は（要証明）のところで、ちゃんと示すのは色々と難しそう。
>>202 おお、すばらしい。なんかこの方針で示せそう！
う～ん、示せそうだね。
今月の2は、各種公式をどこまで使って良いか迷うなあ。
>>209 自分の知識を使ってよいか迷う問題は十中八九悪問です。
ってまだ締め切り前でしたね、すまそ
☆★☆【神よこの者たちはもはや人間ではない悪魔であるこのような悪魔どもを一匹残らず殺してくださいお願いします】★☆★
>>212 9日でござる。今夜もよく冷えるでござる....
今月号の2 ベクトル公式を使った解答の例
球面上に3点L,M,Nを
BOC面に垂直な向きにOL
COA面に垂直な向きにOM
AOB面に垂直な向きにON
となるようにとる。
MON面に垂直な向き ････ OA
NOL面に垂直な向き ････ OB
LOM面に垂直な向き ････ OC
となる。（相反系）
上の定義から次が成り立つ。
OB×OC = sin(a) OL,
OC×OA = sin(b) OM,
OA×OB = sin(c) ON,
OM×ON = sinα OA,
ON×OL = sinβ OB
OL×OM = sinγ OC,
4面体O-ABCの体積をV
4面体O-LMNの体積をv
とおくと、
V = (1/6)OA・(OB×OC) = (1/6)sin(a) OA・OL,
v = (1/6)(OM×ON)・OL = (1/6)sinα OA・OL,
V/v = sin(a)/sinα,
b,β および c,γ についても同様。
>>214 それで「幾何学的な考察から導い」たと言えるかねぇ････
今月の１
便宜のため、周期的に延長する。
x_{n+i} = x_i
s_{n+i} = s_i + s_n
(i=0,1,････,n-1。もっと先まで伸ばしてもよい。)
f(ｘ^(j)) = max{ min{s_(j+1)-s_j, s_(j+2)-s_j, ････, s_(j+n)-s_j}, 0}
= max{ min{s_(j+1), s_(j+2), ････, s_(j+n)}, s_j} - s_j
= min{s_(j+1), s_(j+2), ････, s_(j+n)}, s_j} - min{s_j, s_(j+1), s_(j+2), ････, s_(j+n)} (*)
n個先のsの方が大きいから、いくら追加しても min は変わらない。
∴ f(ｘ^(j)) = σ_(j+1) - σ_j
ここに σ_k = min{s_k, s_(k+1), ････, s_(2n-1), ････} とおいた。
∴ (与式) = σ_n - σ_0 = s_n,
*) max{t, s_j} - s_j = t - min{s_j, t} を使った。
>>214 そんなとこですかねえ。私は外積の三重積を開く公式を使っちゃいましたが。
sinが出てきて余弦定理がダメとなると、どうしても外積が出ちゃいますね。
幾何学的にできなくも無いでしょうが、外積の公式を証明するような流れになりそう。
>>214 も V(4面体の体積) = (1/6)(3稜のスカラー三重積) を使うのでござるな。
もっと幾何学的な考察から導くなら
V(4面体の体積) = (1/3)S(底面積)h(高さ)
S(底面積) = (1/2)sin(?)
とか行きたいところでござる。
出題1は偏微分とガンマ関数使ってちょろちょろやったら解けた
今月の出題のネット版、iPhoneで見ると求める式の最後(k+l)Ckが抜けているのでご注意を。
出題1は
まだ応募期限来てないやつの話はやめとけよ。
ここそういうスレなんじゃないの？
どういうスレかは誰が決めるもんでもない。
19年1月号の講評：
■出題１：レベル4～5（常連正解率95％以上）
徳重先生の良問風(?)な問題。
列x＝(x_1, x_2,...,x_n)の先頭i個の部分和をs_iとする。
s_n＞0のとき、xをj個ずらした列をx^(j)として、
f:x^(j)→max{min{s_{j+1},s_{j+2},...,s_j},0}
の和Σ_{j＝0 to n-1} fがs_nに等しいことを示す問題。
>>215 のようなエレガントなmin-max演算が出来ないと解けない、ということはない。
和を保存しつつ列を縮小する手術を考え、任意のxが非負列に変換されることを示す方針もある。
■出題２：レベル4（常連正解率～100％）
長い問題文だがようするに球面正弦定理を示す問題。
よく知られた証明じゃつまらないので 幾何学的な考察から導け と制限が付けられている。
正弦定理だけに。（←これが言いたかっただけ）
初めて投稿してみようと思うのですが、
その辺のさじ加減も証明の美しさに関わってくるし、書き手の腕の見せ所ではあるな。
>>230 問題の難易度によりけりですね。
込み入った論理展開が必要なときは相対的に自明と思われる補題は証明を省くことがあります。
一方で簡単な問題では、論文レベルでは証明を省くような自明な帰結であっても、それを書かないと解答が「自明」で終わってしまうので丁寧に書き下すことがあります。（これがめんどくさいんだよ）
余談ですが、難しいことで有名な時弘先生の出題で、先生の論文の証明の行間を埋める問題が出されたことがあります。
その問題のエレ解正解者はたったの2名。
プロのレベルは凄いもんだなぁと思いました
>>231-232 非常に参考になりました
ありがとうございます
エレ解よりも大学への数学の宿題のが遥かに難しいよな
>>234 なんだよ素数大富豪って？ 説明したまえ！
本スレの「じゃんけん」を次のように定義する >>235 >>237 本格インド料理の KOMAL をご存知ないからコマル。
メルカード武庫川（西宮市）の１階にあります。
香港の Math. Excalibur もどうぞ。
http://www.math.ust.hk/excalibur/ ハンガリーの数学雑誌:ケマルって、難しいんですか？
兵庫のKOMALを知ってる
>>246 氏は常連の中の常連。
（店の常連って意味じゃないよ）
>>252 そのΣのある形とない形、実際に無い形のほうが計算が簡単だと思う？
m, nが大きい場合でも明らかに簡単？
形で言えば、Σの中身に似てるけど、2項ぐらいかな。
>>254 うーん…実際に計算が簡単になってるか、という観点ではどう？
>>224 ■出題２
↑いつもながらエレガントな解答ですね。
>>193 これより小さい解があったんだ！びっくりした。
例えば
>>202 の図で言えば、偶数にたどり着いたら止めて最後に右下に進めばA、左下ならBの勝ちという方法が考えられるが、左右対象の位置で勝ち負け判定を入れ替えても、全体としての公平性は保たれる。
例として5段目の2つの4のいずれかにたどり着いた場合のみ勝ち負けを入れ替える。すると、4段目の3に着いた時点で、次に右下に行っても左下に行っても勝ち負けは同じになる。つまりそれ以上やる意味が無いからそこでゲームを止められる。
というように、地味に枝刈りをやっていくという方法。残念なのはこの筆者、コイン投げを途中で打ち切ってその段階の確率しか計算していないこと。まあ指数関数的に確率は減るからそれで良いかもしれんが、無限大回数までやったらどうなるかも知りたかったな。
今度からは、
>>1 と
>>5 を読んでから書き込んでね
>>267 同感。
すべての球にmを与えると たくさんできそうだが。
正の数値だから無理数でもいいだろうし。
「なるべく簡明にまとめた説明を工夫してください。」と言いたい。
>>269 すべての球を同じ値にするって事？
だったら四面体の頂点の4個(1つでも列とみなすとして4列)しかないんじゃない？
あ、k=1の場合を考えると、2個連なってる列でも良いから、4段積みの場合でさらに9列か。
四面体の頂点って一直線上に隣接して並ぶってみなしていいのか？
頂点は問題の本質でないからどっちでもいいとして、問題文の意味は通ると思うけど
>>259 >>260 >>274 2^k 回目に
p････p q････q
q････q p････p
の出る確率が等しいことを利用すれば、
2^k -1 回目には 全p、全q 以外はすべて決着する。
2^k 回目も同じ。
【イラクの伊藤詩織】 ナディア・ムラド（26）がノーベル平和賞、自民党とISは、米軍傀儡のレイプ集団
http://2chb.net/r/liveplus/1550283084/l50 >>272 4頂点に m, 6稜の中点に 2m を与えるのでござるな。
しかしnが大きいと 正四面体の内部を通過する場合もあるから････
今月号の問題2は説明が分かりづらい。俺の理解力が足りないのかな。
直線の向きに関しては、「隣接して」の語が重要と思われる。
>>274 >>276 を利用すれば j回目に決着する確率 a［ｊ］ は次の漸化式を満たす。 >>276 ) >>262 >>282 a[1] = 0,
a[2] = 1/2,
a[3] = (1/2)^2,
a[4] = (1/2)^3,
a[5] = 0,
a[6] = (1/2)^4,
a[7] = 3(1/2)^6,
a[8] = (1/2)^7,
a[9] = 0,
a[10] = (1/2)^8,
a[11] = (1/2)^9,
a[12] = (1/2)^10,
a[13] = 0,
a[14] = (1/2)^11,
a[15] = 7(1/2)^14,
a[16] = (1/2)^15,
a[17] = 0,
a[18] = (1/2)^16,
a[19] = (1/2)^17,
a[20] = (1/2)^18,
a[21] = 0,
a[22] = (1/2)^19,
a[23] = 3(1/2)^21,
a[24] = (1/2)^22,
a[25] = 0,
a[26] = (1/2)^23,
a[27] = (1/2)^24,
a[28] = (1/2)^25,
a[29] = 0,
a[30] = (1/2)^26,
a[31] = 15(1/2)^30,
a[32] = (1/2)^31,
a[33] = 0,
････
384=8!!
>>283 大数スレにすっこんでろ ｶｰｯ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ﾍﾟｯ
宿題、90°-2φになったんだけど、みんなはどうなった？
【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
2019年3月号
>>214 >>215 が誰か見当がつく・・・・
すでに4月号に没頭でござるか
拙者は風車の弥七って忍びの者でござる。
このスレには誰も居らぬでござるな。
されば天井裏に忍んで宣伝を貼って参ろう。
武田鉄矢 主演 「水戸黄門」 第二弾
2019/05/19 から毎週日曜 夜6:00-6:54 (BS-TBS)
http://thetv.jp/news/detail/180917/ [前スレ.462, 620, 649, 650, 663]
>>299 いい時間にやるねえ水戸黄門
ファンが多いんだろうなあ
今月も10日になった。 桜が満開････
残念ながら今日は雨だす。。。
･･･などと云っているうちに 御老公の出題でござる。
3月の出題2(3)、『等周期の6個が同色⇒単色三角形が存在』が言える
・4月号 出題2の(3)
とりあえず10000という数字を華麗に無視すればVan der Waerdenでもいける。
よくよく考えたらV(3,4)=293を利用したら一辺の長さ293の格子正三角形の３色塗り分けは必ず単色三角形含むね。
>>309 W(2,3) = 9,
n+1 ≧ W(3,10) ⇒ 成立
W(3,10) は大きそう････
>>306 n+1 ≧ W(3,6) ⇒ 成立
(1) を使えば単色三角形を持つことが分かる。
W(3,6) はどうでしょう？
W(3,2)=4, W(3,3)=27, W(3,4)=293, ････
う～む。
ファン・デル・ヴェルデン数が上から押さえられていることを使えば簡単に解けますが、あまりにあまりに大きい哉
>>302 > 2592段以上
あんたが大将水戸黄門
>>313 W(3,5) > 2173,
W(3,6) > 11191,
W(3,7) > 48811,
W(3,8) > 238400,
W(3,9) > 932745,
W(3,10) > 4173724,
W(3,11) > 18603731,
らしい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Waerden_number (1)使うならn≧W(3,5)のとき単色３角形ができるんじゃないの？
>>306 や >>309 のように「等間隔な」同色列を使えば (1) を応用できるし >>314 一辺587でいけるかも。
>>319 訂正。Tは p≧0,、q≧0、p+q≦4a。
よって一辺の長さは4a+1=1169。
これ以上書くとうざいかもしれないのでやめとくけど877でもいけた。
>>322 ありがとう。お言葉に甘えてn=877の解かいてみる。
>>319 と同じa,α,β,ζ,p,q,Lをとる。
T = {z|p≧0,q≧0,p+q≦3a}
とする。
>>319 と同様にして領域
0≦p≦a,a≦q≦2a}
において公差dが整数の長さ4の数列z1,z2,z3,z4,w1,w2,w3,w4がとれる。
q(z1) ≦ q(w1)としてよい。
ziを中心にwiをπ/3だけ負の方向に回転した点をvijとおく。
vijは設定から全てT上にあり４段の格子三角形を含むので(1)より終。
まだまだ減らせる予感はありあり。
>>319 >zi、wj、vij=(1-ζ)z1 + ζw1 + (i-1)d(1-ζ)α + (j-1)dζαは正三角形をなし,すべてTの点でz1,z2がY色なのでvijはR,W色のいずれかである
問題文から、単色三角形は各辺が三角格子に対して平行である必要がある
たとえばzi, wj, vijが単色三角形になるのはziとwjが同一直線上にあるときに限られる
>>224 出題者の用意した容易な解答だった。
〔朱世傑の公式〕
Σ[j=0,m] C[n+j,n] = C[n+m+1,m]
(略証)
C[n+j,n] = C[n+j+1,n+1] - C[n+j,n+1]
から出る。
〔朱-ファンデルモンドの公式〕Chu-Vandermonde formula
i+k=n のとき
Σ[j+L=m] C[i+j,i] C[k+L,k] = Σ[j=0,m] C[n+j,n] = C[m+n+1,m]
(略証)
Σ[j=0,∞) C[i+j,i] x^j = 1/(1-x)^(i+1),
Σ[L=0,∞) C[k+L,k] x^L = 1/(1-x)^(k+1),
辺々掛けて x^m の係数を比べる。
>>324 ホントだ。
文章読んでなかった。例2はダメな例なのか。
斜めありなら200以下の解答もできたんだけどな。
>>307 > ペア間のずれ(1～n-1) で分類する。
> 最大組に含まれるペアのペア …… k ≧ [(C(L,2)-1)/(n-1)] +1,
> k≧2 ⇒ 単色三角形が存在
ここを詳しく西郷頼
kが2以上で単色三角形が存在、というところ
いやまだちょっとわからんかった。。
>>330 いや今度こそ分かった
ペアのペアのペアが存在すると、最後の頂点がどの色でも単色三角形になりますな
おみごと
>>324 さんの指摘をいただいて証明チェックしてみた。
>>319 ,
>>323 は問題ない。
>vij=(1-ζ)z1 + ζw1 + (i-1)d(1-ζ)α + (j-1)dζα これ間違い
>vij=(1-ζ)z1 + ζw1 + (i-1)d(1-ζ) + (j-1)dζ 正しくはこっち
を1≦i≦4、1≦j≦4で動かしたときの変化の方向ベクトルはdζ、d(1-ζ)でこれはdをπ/3,-π/3回転させたものでもともとdが辺に平行なのでdζ、d(1-ζ)も辺に平行。
よって各辺がもとの正三角形の辺に平行というしばりがあっても大丈夫。
しかし残念ながら自分のノートに書いてた200を切る解は辺が元の辺に垂直の単色三角形の非存在を利用してたのでアウト。
残念。
>>325 >>325
朱世傑 (1249～1314)
数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社（1989/May) p.31
>>332 実は未だにちゃんと読めてないのだけど質問
例えばi=j=1のときzi, wj, vijは題意を満たす正三角形とは限らないが、証明のスジには影響なし？
z1, z2が同色と述べているので何か自分が読み違っている気がしてならない
>>324 >>335 そうなんですか。
>>319 >zi、wj、vij=(1-ζ)z1 + ζw1 + (i-1)d(1-ζ)α + (j-1)dζαは正三角形をなし,
とあったので。
>>336 あ、しまった。そこ関係あります。
やっぱりだめですね。
>>337 > やっぱりだめですね。
そうなんですか（←何もわかってないヒトｗ）
残念です
しかしこのスジのように、外辺以外も積極的に使えるとnを減らせていいんですけどね
>>338 残念です。
うーん、辺の向きに縛りつけられると途端に自由度減っちゃ居ますね。
そのまま同じ公差、色の長さ4の等差数列1組を真横に見つけにかかるとW(3,4)^2前後になるので90000前後になってしまう。
>>325 Σ[j=0,∞) C[j,0] x^j = Σ[j=0,∞) x^j = 1/(1-x),
xで i回微分して i! で割れば
Σ[j=0,∞) C[i+j,i] x^j = 1/(1-x)^(i+1),
>>304 "spherical n-design" とか云うらしい。
J.J.Seidel (1919～2001)
>>307 この問題三角形が辺に平行という縛りがある限りこれしか基本戦略なさそうですね。
ちょっと
>>307 さんの方法を詰めるとn=1808まではいけたけど、しかしメチャメチャめんどくさくなってエレガントな解法の真逆の路線を疾走しないといけない。
拙者は風車の弥七って忍びの者でござる。
2019年5月号
I~、S~、T~ の計算
>>345 のφは黄金数です。 φ= (1+√5)/2 = 1.618034
>>346 のφはz軸のまわりの方位角です。（極座標系)
紛らわしくてｽﾏｿ
さすが。
2019年5月号
>>348 n次多項式P(x) は題意を満たし P(0)≠0 とする。
P(x)=0 は虚数根をもたないから、デカルトの符号法則より
(正根の個数) = {P(x)の係数の符号反転の数} ≦ (0でない係数の個数) - 1,
(負根の個数) = {P(-x)の係数の符号反転の数} ≦ (0でない係数の個数) - 1,
よって
n = {P(x)=0 の実数根の個数} = (正根の個数) + (負根の個数) ≦ 2(0でない係数の個数) -2,
∴ (0でない係数の個数) ≧ [n/2] + 1,
P(0)=0 の場合も n-1次多項式 Q(x) = P(x)/x とおけば題意により Q(0)≠0 だから上式が成立つ。
以下省略
>>298 すでに6月号に没頭でござるか。
生成関数やチェビシェフ多項式を使うのは中身が見えないから「明示的」ぢゃないんだろうな。。。
明示の意味がはっきりしない。
>>353 Σを使うか使わないか、なんてのも考えどころ？
発展問題を除けば新読者歓迎号みたいな難易度だったがまあよし
2019年５月号
↑６月号でござった。ｽﾏｿ
>>351 P(x)=0 が虚数根をもつ場合は、実根がその分（偶数個）少なくなる。
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社(1983) p.65-66
第一種の合流型超幾何関数（クンマー）
>>361 PCで力技で計算してるが、見つからんなあ。大きなnじゃないとダメか。
>>364 nがあるかどうかはともかく，どんな実装してるかに興味あるんだが
>>365 Mathematicaで書いた数行のプログラムだよ。締め切り過ぎたらここに出すか。
【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477 https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
さて、10日でござる。
今年は梅雨入りが遅くて、まだ明けませぬ。鬱陶しい････
>>360 水戸黄門 第２部 (BS-TBS版)
第一話 5/19 中津 (大分県)
第二話 5/26 朝倉 (福岡県)
第三話 6/02 日田 (大分県)
第四話 6/16 延岡 (宮崎県)
第五話 6/23 宮崎
第六話 6/30 鹿児島
第七話 7/07 長崎
第八話 7/14 佐賀
2019年７月号
max でも定義域を x>=0, y>=0 にしたら単位元を 0 とすることはできる。
2019年７月号
>>345 >>346 >>347 >>379 0045
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
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ご老公「助さん格さん、懲らしめてやりなさい！」
>>367 >>369 >>383 (荒らし同士で言い争ってもしかたねぇか････)
>>341 >>380 >>379 も
>>382 も サッカーボール/フラーレン の32面の中心ですね。
つまり U+V は サッカーボール (v=60, e=90, f=32) を反転したもの。
J.M.Goethals & J.J.Seidel, Nieuw Arch. Wisk., ２９, p.52 (1981)
"The football"
正12面体も正20面体も 頂点と面を合わせて32個ある
∴ 正20面体の頂点を切り落とすと32面になる。(サッカーボール / フラーレン)
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/tamentai-6-4-8-20-12-6.pdf 正12面体は立方体の8頂点 (±1/√3, ±1/√3, ±1/√3) を含む。
これを3軸にとったのが
>>379 のU
わしの勝ちぢゃな。最初からのニッコリがこれより長く連続することはなかろうて。
読者の解答をまともに読んでないことが分かっちゃった人
8月号の出題１
あとは、
>>392 であげた※の命題の前提条件が成立することを確かめるだけなのだが
m=1のときは明らか、m＞1のとき、m≡1となると仮定すると、m^(2k) +m＾k +1≡3≡0 (mod 3)より
m^(2k) +m＾k +1の値が合成数となってしまうので、m≡-1 (mod 3)であることがいえる。
よって、
>>392 であげた※の命題の前提条件は成立する。
q>3 のときは
あの式を3次の円分多項式と見る発想が出てこないんだよなあ
今月の出題2だが、自力で解くにせよ、解答を失敬するにせよ
>>386 問1だけど、たとえば頂点のみを通った場合も無傷でないと見做すのか？平面の厚みはゼロでないから
「薄い銀紙で一つずつ包装されている････」 → 薄いとはいえ、有限の厚さをもつ。
>>400 >>404 >>406 Ｖの隣り合う2頂点 Ｐ1, Ｐ2 に対して
OP = 1,
切頂20面体 (32面体) の頂点は
↑Ｑ1 = {1-(√5)gd/2} ↑Ｐ1 + {(√5)gd/2} ↑Ｐ2,
↑Ｑ2 = {(√5)gd/2} ↑Ｐ1 + {1-(√5)gd/2} ↑Ｐ2,
R = OQ
半径hの球面に外接するとき (フラーレン)
↑Ｑ1 = 0.62852645 ↑Ｐ1 + 0.37147355 ↑Ｐ2,
↑Ｑ2 = 0.37147355 ↑Ｐ1 + 0.62852645 ↑Ｐ2,
R/h = 1.0838907667
出題2は面白かった。いろんな意味で。
2019年9月号
そこで次に、箱隅にある6個の単独チーズに着目しよう。
平面の問題だったら簡単になるから切り口に注目して解いた
>>414 突如サイコロになるｗｗｗ
>>417 切り口に注目して簡単になる？
チーズと解答に書きたくない気持ちは分かる。cubeでいいじゃん。でも銀紙の設定は秀逸
>>418 無限に長い16個の正四角柱を斜めに切断した後で水平方向に5回切るって考えた。
こうすると切り口が4x4斜方格子になってそこに5本平行線を通す問題になる。
（切り口の多角形の数＝切られたチーズの数）
>>374 >>375 >>376 7月号出題1は単位元-∞を認めるのが題意だったみたいですね。
>>411 ２番目のヒントは無い方がいい鴨
X_α の各要素の桁数が不明では使いにくいとｵﾓﾀ
>>424 自分もXは使わなかった。しかしヒントにはなった
Xの存在が過去問題になったってホント？
ものの数行で存在を示せるキガス
(例)
2019年9月号 遅くなったけど････
条件3 から考えると、最初に
しょうがねゑ。
出題2ってヒント無視したらいくらでも作れそうだけど。
なるほど。
>>430 しごろ数xでは「4」「6」以外は有限個であり、「5」の最下位をs(x)とする。
>>432 訂正
下の桁を (1/10)^s(x)･Σ[k=1,∞] (2α_k ＋２) (1/10)^k
と表わしてα(x)∈B を定める。
2630
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
>>374 n次正方行列 A,B に対して「準加算」A o B = C を
C(j,k) = Max{min{A(j,1), B(1,k)}, min{A(j,2), B(2,k)}, ･････, min{A(j,n), B(n,k)}}
で定義します。
単位行列Eも、普通のように、主対角線上の元がすべて1で、他はすべて0 と定義します。
n次正方行列Aに対して
A o B = E
となるn次正方行列Bが存在するための、Aに対する条件を求めて下さい。
数セミ増刊「数学の問題」第(3)集、日本評論社 (1988) ●8
1以上の元は各行、各列にちょうど１つずつある。その他の元は0以下である。
>>407 正20面体Ｖを切頂してフラーレンを作ろう。
稜 P1-P2 を
0.628526450656913 : 0.371473549343087
の比に内分した点を Q1 とすると
R = OQ1 = 0.8613186452310
これを単位球面まで延長すると
1.16101051049675↑Q1
= 0.729725815337893↑P1 + 0.431284695158857↑P2,
出題2 (1) で N=0 も許すと、無条件で成立つことになるが…
>>379 >>382 >>439 Gの30頂点の座標は 5回軸の回りの極座標で表わせば
θ = arctan(1/g), arctan(g), π/2, π-arctan(g), π-arctan(1/g),
φ = mπ/10, (m：整数)
11月号問2はほとんど物理の問題じゃね？前回は組体操の問題を出した人だし。
>>407 >>437 ↑のU(f)は誤り。V(f)が正しい。 >>439 と >>443 を組合せて 10月号の話をしよう
11月号2問目は何を答えりゃいいの？ネットに答えは出てるし
「指ハブ」に指を差し込むと、引っ張っても抜けない････その理由
構造を知ろうとネットで検索すると答えも一緒に見つけちゃうんだよな
数学で説明するフリをすれば「正解者」に入れまつよ。
>>407 >>437 >>450 訂正
まん中あたり
(√5)gd/2 = {g√5 - √((25+11√5)/6)}/２ = ････
11月号出題1は正直面白かった。みんなこれぐらいならスラスラ解けるのか？
2019年10月号 >>438 >>453 同様にして x(n,t) は t=max[N-n,0] までに確定する。
>>453 いかなるＮに対しても(1)を仮定すれば題意が満たされること、を示す
出題は何もおかしくないと思われ
いや出題はある整数Nに対してだよ。
周期Nが何であれ、周期性があるなら題意を満たすことを示せ、ってことですよ
ああごめん笑 N＝0はだめだね。勘違いしたよすまそ。でも誰もN＝0なんて考えもしないんじゃ。君以外。
単に正の条件を書き損ねただけかと
>>458 オレは
>>453 さんではないよ。
N=0のケースが考えから抜けたのは筆が滑ったんだろうし、目くじらたてるようなもんでもないがもちろん書くべきだし
>>453 さんの指摘はもっともだろ？
>>394 8月号の出題１
2以上の自然数mと自然数kに対して
(m^k)^2 + (m^k) + 1
は素数であるとする。
m^k≡1 (mod 3) とすると、与式が3の倍数となるので不可。
∴ m≠1 (mod 3) かつ kは奇数 とする。
また、円分多項式の議論から k=3^e となる。
(ただし、これらは必要条件であって、十分ではない)
このとき
m≡-1 (mod 3) ならば m^(m^k +1) ≡ 1 (mod p)
m≡0 (mod 3) ならば m^(m^k) ≡ １ (mod p)
となるか
http://2chb.net/r/math/1468160365/155-157 出題2
すべてのnで一斉に x(n,t) が確定するような有限な T はあるか？
(min[a,b] はa,bのうち大きくない方を表わし、a,bについて単調非減少である。)
>>453 >>462 (m^k)^2 + (m^k) + 1 = p より
m^(3k) = 1 + (m^k -1)p ≡ 1 (mod p)
pは3の倍数でないから、m≠1 (mod 3)
・m≡-1 (mod 3) のとき
m+1 は3の倍数。
また m^k +1 が3の倍数ならば
{m^(k+1) +1}/(m^k +1) = (m^k)^2 -(m^k) +1 = (m^k +1)^2 - 3(m^k) は3の倍数。
∴ k = 3^e のとき m^k +1 は 3k の倍数。
∴ m^(m^k +1) ≡ 1 (mod p)
・mが3の倍数のとき
m^k は 3^k の倍数。
また 3^k ≧ 3k と k = 3^e から
3^k は 3k の倍数。
∴ m^(m^k) ≡ 1 (mod p)
>>463 こんなのはどう？
M=sup{x(n,0)}, m=inf{x(n,0)}とおく。M<∞、m>0とのき各nにおいてt≧M/mで全てのx(n,t)は定数。
∵) まず以下を機能法で示す。
x(n,t)>x(n,t+1)⇒x(n,t+1)≧m(t+1)。
--
t=0では成立。
t<Tで成立するとしてt=Tのときx(n+1,t-1)=x(n+1,t)、x(n+2,t-1)=x(n+2,t)のいずれも成立するならばx(n,t)=x(n,t+1)である。
いずれかはそうでないときはx(n+1,t),x(n+2,t)のいずれか一方はmt以上であるのでx(n,t+1)≧m(T+1)。
--
特に(n,t)>x(n,t+1)⇒x(n,0)≧m(t+1)であるから待遇をとつてt>x(n,0)/m-1⇒x(n,t+1}=x(n,t)。
特にt>M/m-1⇒x(n,t+1}=x(n,t)により主張は成立する。
条件もクソもないと、オヌシはそう言われるのじゃな？
そうそう。
8月号の出題1はヒントが罠な感じがする。
あ、間違った
>>470 はいらんkが入ってる。
逝ってくる
フェルマーの小定理から
>>466 {x(n,0) | nは整数} の要素は有限個だから、最大値M と 最小値mが存在する。
0 < m ≦ x(n,0) ≦ M
〔補題1〕
m ≦ x(n,t) ≦ M,
(略証)
x(n,t+1) ≧ m は x(n,t) の定義から tについての帰納法で。
x(n,t+1) ≦ x(n,t) ≦ ････ ≦ x(n,0) ≦ M,
〔補題2〕
x(n,t) > x(n,t+1) ⇒ x(n,t+1) ≧ m(t+2),
(略証)
tについての帰納法による
まづ定義式と題意から
x(n,t) > x(n,t+1) = x(n+1,t) + x(n+2,t) ････(*)
t=0 のときは
x(n,1) = x(n+1,0) + x(n+2,0) ≧ 2m,
t>0 のとき
x(n+1,t-1) + x(n+2,t-1) ≧ x(n,t) と (*) から
∴ x(n+1,t-1) > x(n+1,t) と x(n+2,t-1) > x(n+2,t)
の少なくとも一方は成り立つ。
帰納法の仮定により
x(n+1,t) ≧ m(t+1) または x(n+2,t) ≧ m(t+1),
∴ x(n,t+1) = x(n+1,t) + x(n+2,t) ≧ m(t+1) + m = m(t+2),
特に t ≧ [ M/m -1] = T ⇒ x(n,t) = x(n,t+1)
小定理使えばこうだった。
あ、φ(n)/2が奇数ならnはq≡3(mod 4)の素数のn=qか2qのどっちかしかないのか。
m^a ≡ m^b ≡ 1 (mod n)
>>464 >>473 各 x(n,t) を 初期状態 { x(n,0) | nは整数} の汎関数と考えよう。
min[a,b] は a,bについて単調非減少ゆえ、
ある x(c,0) を増やしたとき x(n,t) のどれも減少しない。
ある x(d,0) を減らしたとき x(n,t) のどれも増加しない。
で, どうなる？
>>477 「先祖数」y を次のように定める。
y(n,0) = 1
x(n,t+1) = x(n,t) のときは y(n,t+1) = y(n,t)
x(n,t+1) = x(n+1,t) + x(n+2,t) のときは y(n,t+1) = y(n+1,t) + y(n+2,t)
このとき
x(n,t) ≧ m･y(n,t)
一方、
x(n,t) ≦ M
よって
y(n,t) ≦ M/m,
各nについては有限回だが、nは無限の遠方まで伸びている････
>>476 は11月号 出題１のヒントかとオモタ。
2019年11月号
句全体を0～n-1のZ/nZの代数で考える。
今月の出題1は、結構有名な命題だよね。
2019年9月号 >>417 >>420 ) >>414 >>415 ) 昔エレガントな解答求むで雨宮先生が出した問題を2chで誰かがかっこよく解いて話題になった話しがあるらしいんですが何の話かわかる人いますか？
>>484 >今月の出題1は、結構有名な命題だよね。
そうなのか
締め切り過ぎたので、出題１の回答をw
数学的帰納法で、以下の命題を示す。
「2m-1個の整数の集合には、和がmで割り切れるようなm個の整数が必ず存在する。」…★
m=1のとき、明らか。
m≦h-1（hは自然数）のとき、命題★は正しいと仮定する。
m=hのとき
hが素数のとき、
>>489 より命題★は正しい。
hが合成数のとき、
h=a*bとかける
2*a*b-1＞2*a-1
帰納法の仮定より、和がaで割り切れる、a個の整数の集合T_jが2*b-1組取ることが出来る。
T_1の元の和，T_2の元の和，･･･，T_(2*b-1)の元の和をそれぞれ、a*t_1,a*t_2,･･･,a*t_(2*b-1)とすると
帰納法の仮定より、t_1,･･･,t_(2*b-1)のなかで、bで割り切れるb個の整数が存在する。
これを、t_(i_1),････,t_(i_b)とする。
a*{t_(i_1)+････+t_(i_b)}はa*bで割り切れる。
そもそも、a*t_(i_1),･･･,a*t_(i_b)達は、a個の整数の和であるから
a*{w_(i_1)+････+w_(i_b)}は、x_1,･･･,x_(2*h-1)から取ったh個の整数の和である。
よって、hが合成数のときもこの命題★は正しい
m=hのときも、この命題★は正しいことが示された。
よって、帰納法により任意の自然数mに対して、この命題★は正しい。
>>489-490 で示した命題「2m-1個の整数の集合には、和がmで割り切れるようなm個の整数が必ず存在する。」
を考えれば、出題１の回答は明らかに「不可能」だということができます。
上記の命題は、あのポール・エルデシュが証明した命題の一つです。
https://www.renyi.hu/ ~p_erdos/1961-25.pdf
いや、一般化してるから長いだけで17で9の倍数ならこなフライングのやつでいけるでしょ？
でもどうなんだろ？
■出題２
○ Pが凸4角形を含む場合（上記を除く)
逆の
>>453-461 10月号出題２ （１）は「N≠0 に限る」と修正するようです。
（1月号解説）
まずは5点のケースで有限配置と無限配置を分類
>>498 ○ Pが△を含まない場合
Pのすべて点は一直線上に並ぶ。
Pは÷配置。
証明自体は簡単なんだけどな。
>>497 補題1
(略証)
凸包が凸4角形のとき、対角線の１つをLとする。
凸包が△のときは、頂点でない点と１頂点を含む直線をLとする。
凸包が直線のときは、それをLとする。
補題2
（略証）
・Pが点Aと、半直線AX上の2点B1、C1と、半直線AY上の2点B2,C2を含むとき
T(P)は B1C2 と B2C1 の交点Dを含む。
TT(P)は B1B2 と AD の交点Eを含む。
半直線AED上には2点E,Dがある。
同様にしてAをとおる無数の半直線が生じる。
∴ Pは無限配置。
・Pが凸4角形の4頂点と、その対角線上にない点A'を含むとき
T(P)は4角形の対角線の交点Dを含む。
A'が4角形の外部にあるとき、TT(P) はA'Dと１辺の交点Aを含む。
A’が4角形の内部または辺上にあるときは A=A' とする。
両対角線により点Aと隔てられた頂点をB1、B2とする。
TTT(P) はAB1と対角線の交点C1、AB2と対角線の交点C2を含む。
半直線AC1B1 と 半直線AC2B2 が点Aで交叉する。
∴ Pは無限配置。
・Pが凸m角形 (m≧5) を含むとき
一頂点Aから対角線 AB1、AB2を曳く。
Aの隣の2頂点をむすぶ対角線 L~ を曳く。
T(P)はそれらの交点C1,C2を含む。
半直線AC1B1 と 半直線AC2B2 が頂点Aで交叉する。
∴ Pは無限配置。
大筋は
そうなのか
>>510 出題１だけど、一意性は示せないと思う。
折れ、題意をみたす関数を少なくとも2つ見つけちゃったんだw
>>514 その2つの線形和を1つの関数と考えたときの一意性はどうよ
>>515 それ、
>>514 書いた後に気が付いたw
>>512 f '(･･･) をもう一度微分するでござるか？
それが可能かどうか？
しかし (･･･) が定数ならば明らかに0じゃ。
>>517 要するにC∞ではない関数が存在するのかどうか
今月の出題2は岡本先生
>>517 >>521 なんかの本か論文で読んだことあるわ
右辺で、幾何平均の代わりに算術平均を用いると確か二次関数が出てきて、
調和平均とか二乗平均平方根とかでも類似の結果が得られるんだよな
平均の形に限らない一般形の場合はオープンクエスチョンになってた気がする
>>512 2回微分不可で題意を満たす関数
>>518 C^∞ 級ではない関数
は無いんかいな？
任意のaについて
>>523 おもしれ
他の平均だとどうなるのか知りたい
2020年1月号 講評？
■出題１
微分を含んだ関数方程式。
C＾∞ 級の f(x) = A/x + B + Cx だけらしい････
>>521 ■出題２
H(i,j) ≧ 2ij +i +j +1
までは行くんだが････、等号かな？
>>528 ≦8は必ず現れる特定配置に注目すれば何とかカントカ
≦13の方が簡単な気が
>>485 ９月号出題１ （解説：12月号）
「真っ二つに」が「等体積に」の意味だとすれば、最低30個が無傷で残るらしい。
30個 と解答した10人を含めて 34人が到達でござる。
(2020年2月号 訂正)
>>483 ↓の結論は H(i,j) = 2ij+i+j+1 らしい。
プログラム技術板 - お題スレ Part16
http://2chb.net/r/tech/1573948822/326-457 出題1はもうすこし単純な計算でもいけた
【単純】
そうか、出題1はC^∞まででたら後はそこまで難しくはないのか。
f(x) は2回微分可能とします。
>>537 よくよく考えたらa=0代入したらconst.は0確定だからD=0に決まってますな。
「余力がある場合は」
一番最初に思いついた方法が2^nだった。
>>544 やるなおぬし
そのコメントがさりげないヒントになった
うっしっし
最初に思いついたのは2^{n-1}だった
あれ？これもう締め切りすぎたんじゃないの？
2020年２月号 講評？
|A|=3のとき
>>550 チェバの定理なんやけど.015-016
>>551 オレもサイズが1あげる時間に新しい文字挟んでいく論法でやったんだけど、それだとn×nではうまくいかなかった。
で話をm×nに一般化してm×1からスタートしていった。
この方法だとm×nからm×(n+1)に上がるとき
・m個の文字列の方は間に新しい文字Aをはさみ、新しい(n+1)個目を受け付けるほうは末尾にもAを追加する。
・n個の文字列の方は間に文字Aを挟む。
・(n+1)個目の文字列はA一文字とする。
コレでいけるんだけど
>>551 さんはいわばこのmの方も1あげるんですよね？
それはどうするんですか？
訂正
>>551 ×・n個の文字列の方は間に文字Aを挟む。
◯・n個の文字列の方は間に文字Aを挟み、末尾にもAを追加。
m個の文字列の方もn個の文字列の方も長さ2^(n-1)になります。
ちなみにm,nに大きさの大小の指定はないので1x1から双方1ずつ上げていってもできますが、その場合2^(m+n-2)になるのでm×1からスタートするものより格段に長い文字列が必要になってしまう。
あ、問題文の文字設定覚え間違ってた。
>>553 おそらく私もあなたも本質的には同じ手法と思われます．
私はs(b_i)を「3つの場合に分けて」定めてn×nの場合を証明しましたがn×mでも当然証明可能ですし，
私の「場合分け」の部分が、あなたの「m×nにしてm×1からスタート」あるいは「末尾にも～」にあたるのだと思います．
出題1はどのくらいまでなら実の代数幾何使っていいんだろうか？
フィールズ賞受賞者が3人揃って代数幾何学の大家であるこの国のこと(12月号解説)だから認められて良いと思うけど････
>>519 締切 過ぎにけり。
締切ぞ 過ぎにける。
のどっちかだろ。それとも
締切こそ 過ぎにけれ。
かな？ (係り結びの法則)
>>564 〔出題１：追加問題〕
k = α+β+γ とします。次も求めてください。
α/β + β/γ + γ/α,
β/α + γ/β + α/γ,
(α/β)^3 + (β/γ)^3 + (γ/α)^3,
(β/α)^3 + (γ/β)^3 + (α/γ)^3,
>>566 は本題とは関係ない脇道なので、よゐ子は気にしないでね。
β/γ = - {2/７^(1/6)} sin(8π/7),
γ/α = - {2/７^(1/6)} sin(2π/7),
α/β = - {2/７^(1/6)} sin(4π/7),
から
α/β + β/γ + γ/α = -７^(1/3),
β/α + γ/β + α/γ = 0,
(α/β)^2 + (β/γ)^2 + (γ/α)^2 = ７^(2/3),
(β/α)^2 + (γ/β)^2 + (α/γ)^2 = 2･７^(1/3),
(α/β)^3 + (β/γ)^3 + (γ/α)^3 = -4,
(β/α)^3 + (γ/β)^3 + (α/γ)^3 = 3,
･････
>>568 いまだに出題2（2）の題意が分からない俺様が通りますよ
出題2(1)もおれはよく分からん
（2）は解けてない
俺の考えは逆で、nが大きい方がfreeになりにくいんだが
それより出題2の文章は無用に長いくせに意味がハッキリしないな。
>>577 そうだねえ
しかし前者の意味に取ったところで(2)は依然ナンセンスだと思う
もちろんナンセンスってのは誤解してるだけなんだろうけど
出題1にスッキリ解答････ http://studytube.info/videos/38864 24:12 やってることは分かるし高校の文系数学の知識で解けるってのは素晴らしいけど、流れや思考のプロセスが分からん
スッキリじゃなくてもいいから出題2の2の解説よろ
等速直線運動だと思うが
4月の出題者、最近出題したばかりな気が
ぬるぽ氏に前月出題2の2の問題解説を頼みたいなんて、まさかねそんなこと言えない
>>586 「一定の速度で」の意味だろうね。
「等速度」と云うが、PとQの速度が等しいワケぢゃないだろう。
「等速～～」 物理・力学・運動学でよく出てくるが････誤訳か
解くだけなら簡単な「エレガントな形で書け」と要求してくる問題に興味が持てない某
先月問題2の2は誰も解説してくれない
数学上から要約でないとプログラミングとか結果の世界との整合性で嘘だよ数検今の所最年少とか違う視点でないとそんなとこ誰も要求してないし
と言うか近視の数学になってて近視観点は一々近視観点だとその言葉で集合も分かるから
グラフ理論よくわからん
小瓶のビーズの色がどのような組合わせであったとしても？？？
ビーズの総数のみを指定します。（≧40)
10日でござる。 >>600 出題１
出題１は一次変換を使うとよさげ
>>607 >今月は（今月も）難問であった…orz
先月の出題2(2)、いまだによくわからん
(1) >>607 n=6も場合分けで面倒
nが5で割り切れるなら
・2本/5点
>>613 をなるべく多くし、
・3本/7点
>>611 ・1本/2点 (；)
も使うと下限は［2(n+2)/5］本か？ (n≠1,3,8)
９
●
６
に目玉を入れた物を４組....
>>613 >>618 なる
奥深いなこの問題
証明しようにも、予想を超えるものがすぐ現れるw
同感でござる。
6月号到着、ジュウサンフリーはみんな分からなかったようで安心した笑
>>607 出題2だけど、総乗→logのルートを通らずに論証できた？
5月号 出題1
出題2は作業だな
>>624 > 出題2だけど、総乗→logのルートを通らずに論証できた？
指数の肩に乗せて総乗→log→積分の方法
これ以外の方法はないのか？エレガントな５ちゃねらーずコメントをもとむ
示すべきは
（１）≦2-(1/2)^(n-1)（≡Smと書く）
（２）等号条件を満たす集合Xが存在
求める逆数和をS（X)、集合{2^(i-1)}をX~とおく
■命題１
「集合Xの任意の部分和が相異なるとき、逆数和Sの最大値はSである」
ダイレクトに示せないので迂回する
■補題１
「X~は題意を満たし、Smを与える」
証明容易
■命題２
「Y≠X~かつ部分和が相異なる集合YはS<=Smを与える」
これが示せれば証明終わり。難しいのでまた迂回する
■補題２
「部分和が0以上2^n-1を渡る集合はX~に限られる」
証明容易
■命題３
「部分和が相異なるが0以上2^n-1を渡らない集合Y≠X~の逆数和はS<=Smとなる」
これが示せれば証明終わり。簡単そうに見えるが・・・
■命題４
「部分和が0以上2^n-1を渡らない集合YにおいてS＜Smならば、
同じ部分和を与える相異なる２個の部分集合∈2^Yが存在する」
命題２，３の代わりにこれを示してもよい
>>630 めちゃくちゃ間違えとる。正しくは下記
■命題１
「集合Xの任意の部分和が相異なるとき、逆数和Sの最大値はSmである」
■命題４
「部分和が0以上2^n-1を渡らない集合YにおいてS＞Smならば、
同じ部分和を与える相異なる２個の部分集合∈2^Yが存在する」
■命題３
>>576 > 俺の考えは逆で、nが大きい方がfreeになりにくいんだが
> たとえばn＝1で{1,5,7}には(1,7,7;5)の組が存在するが、2点が同一なので重三freeとなる
> しかしn=2では数字を組み替えることで、重三が構成できてしまう
> どこが間違ってる？
解答編読んで自己レス
{1, 2, 5, 6}^nよりも {7}^m X {1,2,5,6}^(n-m)としてnCm通りで組み替えたほうが要素は大きくなる
たしかにそんな気もする ＿|￣|○
お前はアホだと真っ向から宣告された気がする
今日は天気がいいので散歩でもしてくる
>>632 >■命題（迷題）５
>「小補題1のiをi0とおく。このとき全てのi≧i0でyi≧xiとなる」
>これを示せれば証明終わり。成り立つのか不明だがi≦i0+2までは真
解けないなら迂回。困ったときは帰納法にすがってみる
■命題６
「#Y≦kで（１）S≦Sm、（２）等号条件を満たす集合はX~に限られる⇒#Y＝k+1でも（１）、（２）が成り立つ」
簡単ではなさそうなので捻ってみる
■小補題３
「あるa∈｛0, 1, ....｝を取り、部分和が相異なる集合Yの全ての元を2^a以上に制限したとき、
逆数和が最大となるYの最小元はy1＝2^aである」
自明（に見える）
■命題７
「#Y≦kでy1＝1、S≧Smを満たし、部分和が相異なるYはY＝X~に限られると仮定する。
このとき、あるa∈｛0, 1, ....｝を取り、#Y’＝k、y1＝2^a、
部分和が相異なるY’の逆数和が最大となるのはY＝｛yi｜yi＝2^{a+(i-1)}｝のときに限る」
小補題３が言えるなら命題７も言えそう
命題７が言えれば証明は終わりそう
はてさて
>>634 すまん書き直し。やれやれ
>>632 >■命題（迷題）５
>「小補題1のiをi0とおく。このとき全てのi≧i0でyi≧xiとなる」
>これを示せれば証明終わり。成り立つのか不明だがi≦i0+2までは真
解けないなら迂回。困ったときは帰納法にすがってみる
■命題６
「#Y≦kで（１）S≧Sm、（２）等号条件を満たす集合はX~に限られる⇒#Y＝k+1でも（１）、（２）が成り立つ」
簡単ではなさそうなので捻ってみる
■小補題３
「あるa∈｛0, 1, ....｝を取り、部分和が相異なる集合Yの全ての元を2^a以上に制限したとき、
逆数和が最大となるYの最小元はy1＝2^aである」
自明（に見える）
■命題７
「#Y≦kでy1＝1、S≧Smを満たし、部分和が相異なるYはY＝X~に限られると仮定する。
このとき、あるa∈｛0, 1, ....｝を取り、#Y’＝k、y’1＝2^a、
部分和が相異なるY’の逆数和が最大となるのはY’＝｛yi｜yi＝2^{a+(i-1)}｝のときに限る」
小補題３が言えるなら命題７も言えそう
命題７が言えれば証明は終わりそう
はてさて
2020年3月号
■出題２
>>633 のやり方だと
#A = 4^(n-m)･C[n,m］= 4^(n-m) n!/{m!(n-m)!},
nを固定してmを変えると
m = n/5 - 0.3 のあたりで最大となり
#A ～｛5/√(8πn)} 5^n,
∴ c < 5 で成立。
｛1,2,5,6,7}^n に似てるけど微妙に違う。
重心のi成分が「7」なら他の３点のi成分は「7」しかない。
「7」の個数を決めておけば、他の成分は「7」以外になり、
重三を回避できた･･･
「1」についても同様かも？
>>635 命題７は２秒で反例が見つかる糞命題だったｗ
小補題３が言えれば命題６の帰納法が前に進むんだろうか
>>636 #A = 4^(n-m)･C[n,m］= 4^(n-m)･n!/{Γ(m+1)Γ(n-m+1)},
∂(#A)/∂m =（#A){H(n-m）- H(m）- log(4)}
≒（#A){∫[m+1/2, n-m+1/2］1/t dt - log(4)}
≒（#A){log(n-m+1/2）- log(m+1/2）- log(4)}
= 0
より
log(n-m+1/2）- log(m+1/2）- log(4）= 0,
n-m+1/2 = 4(m+1/2),
m = n/5 - 0.3
>>636 PCで解いても法則性が良くわからんなあ。条件を1つ緩めると簡単なんだが。
ピーターは入れ替えるか2で割ると2^n(n=4.5.6.7.8.9.10.11.12.13)になるものを選べばいいんじゃないのか？
Nothing really matters to me,
anyway the wind blows.
05:58
出題1、結果だけならプログラム組めば出せる
まず、3の倍数であることは(1)(2)で変わらない。
読み直してみると、途中で3桁に落ちるパターンが考慮から漏れているかな。
・3の倍数
1/2倍だけではなく2倍の操作も許し、途中で5桁以上になっても良いとすると、1に到達不可能なのは元の数が3で割り切れることと同値なようだ。
>>657 5555も6桁使えば行けたわ。
5555 (×2^5)->177760->177706->88853->53888->26944->24496->12248->6124->1624->812->128->略
うん、鳩の巣原理だな
でも蜂の巣って一つの巣に何百何千の蜂が住んでいらっしゃるから
>>662 蜂の巣は誰でも知ってるでしょ
でも鳩ノ巣を見たことあるか？
pigeonhole principle
pigeonhole：
鳩がせっせと作る巣ではなくて、（区分けされた）巣箱
転じて、棚などの区画
鳩の巣
https://gaiju-seikatsukyukyusya.com/pigeon/information/post-72/ 日本語の鳩ノ巣じゃまずいから引き出し論法にしたのかもしれんが、もっとまずいだろ
正直ピーターは手も足も出ず、こんなコメントしかできないのが恥ずかしいわ
ちなみに俺のアプローチを言うと、4桁から3桁へ、3桁から2桁へ移る数のうち、1へ到達可能な数を調べ上げた
蜂の巣というたらあのでっかい塊のこと
規則性や保存量を一生懸命探したが見つからなかったな
嗚呼!! 花の応援団（1975～1979）
出題１むずすぎるんだが
>>679 十分条件を求められているかというとハテナでございます
出題2は（3）が1番簡単な気がするんだが
>>679 >>680 この話に心当たりがあったのでもうググって答え見た。
資料みて思うにコレは表の存在を自分で導出するのは無理だ。
なんせ表の存在だけで論文になってるレベル。
この表をいかに簡単に作れるかでひとつのテーマになってる。
(1)も(2)も存在しうるならこの２つしかないまでで良いんだろうと思う。
先月号の出題２が全然話題にならないのは
>>686 早々に解けたことは覚えてるけど全く記憶にない
簡単すぎたのか、ピーターに時間を費やしすぎたか
>>687 いま問題見て思い出した
大学受験みたいだなーと思った
こういう問題はツマラン
>>685 与えられた問題を解くだけなら簡単そうだ
やはり出題2（3）だな今月の山場は
先月の出題2は x^2+y^2=z^2 の一般整数解を知ってればつまんない問題ではないかな
この雑誌って完全に数学科向け？
出題2の(3)、多分解けた。
>>693 早いじゃないか
島であること、有界でないこと、の2ステップだな
なんとなくイケる気がするんだが2トライして失敗
次は何を試そうかなあ（楽しい）
>>685 Steiner system S(5,8,24) の自己同型群は Mathieu群 M_24 で5重可移なんだね。
しかし一般に、どのようなパラメータに対して block design が存在するか
という問題は非常にむずかしい問題で、Combinatory Analysis のもっとも
重要な問題の一つらしい。。。
>>701 出来たよ。回答は今月8日の締め切り後に出すつもりだけど。
ヒント（といえるかはわからんが）として、明日ぐらいに回答に使った定理ぐらいは書いてもいいよ。
書いて欲しい人がいればの話だけど。
明日になった。（？）
すまんが706は忘れてくれ
出題２の(3)の回答
出題２の(3)の回答続き
出題２の(2)は
>>710-711 でr=2とおけばよい。
任意の大きさを作る解
補題
自然数nにたいし自然数a,b,k,eと素数p,q,ri,si (0≦i≦n+1)が
n<p<q、
(pq)^e ≡ 1 (mod ri)、(pq)^e ≡ -1 (mod si)、
pqk + ap ≡ -i (mod ri)、pqk + ap ≡ -i (mod si)、
(pqk + bq - 1) - (pqk + ap + 1) + 1 = n、
を満たす時、{((pq)^e, pqk + ap + i) | 1≦i≦n}は大きさnの島である。
∵) pqk + ap + i = pqk + bq - (n+1-i) は1≦i≦nであるとき、p,qのいずれとも互いに素であるから(pq)^eとも互いに素であるから((pq)^e, pqk + ap + i) は陸地である。
pqk + ap + 0はpの倍数、pqk + ap + n+1 = pqk + bqはqの倍数であるから陸地ではない。
0≦i≦n+1にたいしpqk + ap + i、(pq)^e-1は共にriの倍数であるから((pq)^e-1, pqk + ap + i)は陸地ではなく、pqk + ap + i、(pq)^e+1は共にsiの倍数であるから((pq)^e+1, pqk + ap + i)は陸地ではない。□
そこで補題の条件を満たす組みが存在する事を示せば良い。
eiをe1=3、e(i+1)=ei(pq)^eiと定めるとき、
((pq)^e(i+1)-1)/((pq)^ei-1) ≡ (pq)^ei ≡ 1 (mod (pq)^ei-1)、
((pq)^e(i+1)+1)/((pq)^ei+1) ≡ (pq)^ei ≡ -1 (mod (pq)^ei+1)
により相異なるi,jに対し((pq)^e(i+1)-1)/((pq)^ei-1)、((pq)^e(j+1)-1)/((pq)^ej-1)は互いに素である。
そこで((pq)^e(i+1)-1)/((pq)^ei-1)の素因子からri、((pq)^e(i+1)+1)/((pq)^ei+1)の素因子からsiを選べば良い。
この時第3式を満たすkは中国の剰余の定理によってとれる。
第4式はユークリッドの互除法によりとれる。
8月号の問題2は一見ラマヌジャン的な唐突さを感じるな
>>710 7月号問1は本誌読んでるかの抜き打ちチェックだったな
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)
折れも任意の自然数nに対して面積nの島を考えてみた。
(文字や考え方など、大分
>>713 氏をパクっているがw)
「
nを整数、p.qをn<p<qをみたす素数とする。
a,e,r(i),s(i)を下記のようにとる。(ただし、0≦i≦n+1)
a≡0 (mod p)
a+i≡0 (mod r(i)s(i) )
a+n+1≡0 (mod q)
eはある正の整数
r(i)達は(pq)^e-1を割り切る相異なる素数。
q(i)達は(pq)^e+1を割り切る相異なる素数。
」…♪
このとき、( (pq)^e,a+i)達は「面積」nの「島」である(ただし、1≦i≦n)。
3n+6個の点( (pq)^e-1,a+i)、( (pq)^e,a+i)、( (pq)^e+1,a+i)を考えると
(ただし、0≦i≦n+1)
上記のようにとれば、(pq)^e-1,a+iは少なくとも公約数r(i)を持ち
(pq)^e+1,a+iは少なくとも公約数s(i)を持つので、
( (pq)^e-1,a+i),( (pq)^e+1,a+i)達はCの要素ではない。
(pq)^e,aは公約数pを持ち、(pq)^e,a+n+1は公約数qを持つ。
aより大きな最小のpの倍数はa+p＞a+nでありかつ
a+n+1より小さな最大のqの倍数はa+n+1-q＜aだから
a+1,…,a+nはp.qいずれでも割り切れない。
したがって、1≦i≦nのとき( (pq)^e,a+i)はCの要素である。
あとは、♪が実際に構成可能であること。
あと個人的な推測だが、たぶん
>>713 氏の回答には表向きでは使われてないけど
Zsigmondyの定理が背景にあると思った。
折れも考えてみたけど、
>>713 と似たものになっちまったw
折れも
>>713 もZsigmondyの定理の使用を表向きには避けたため、
eの値は非常に大きなものになっている。
Zsigmondyの定理を用いれば、eの値は大分小さくなると思う。
興味がある人はチャレンジしてみるといいんじゃないかな。
Zsigmondyの定理のステートメント
https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy%27s_theorem >>724 の補足だが
＞折れも考えてみた
これはZsigmondyの定理を用いないeの構成方法
〔ジグモンディの定理〕
島の形だけ示した宝の地図を提示してその座標を特定する宝探しゲームができないかと思ったが同じ形の島が無限個あるからだめだった
色んな方法があるんだね
まぁそうだな。
オレは素数定理使えばいいと思うんだけど出題者が「使わない方がなお良い」って言ってるからなぁ。
素数定理使っていいなら
>>713 で先にqi,riとって後でp,qとってeなんか全く必要なくなるし。
>>728 もし、良かったら解答書いてくれないかな。
折れ自身、まず算術級数定理を使おうとしたけど、どうしてもうまくいかずに挫折したんだ。
方針転換して、解答
>>710-711 を見つけたがw
ヨコだけど
>>713 でまず任意に相異なる奇素数ri,si (0≦i≦n+1)を先にとっておいて、それから任意に別の奇素数p>nをとり、最後にq>pを算術級数の素数定理で
pq ≡ 1 (mod ri)、pq ≡ -1 (mod si)
ととればe=1である解を与える。
>>731 それそれ。中心のX座標を2素数の積の形にできる。
>>710 >rより小さな任意の素数sに対して
>a≡1 (mod s)
これで逃げられるならこのほうが賢いわな
先月号出題２の(3)の出題者の意図した解は多分下記だと思う。
>>713 や
>>722 と同様にまず素数r(i)とs(i)を決めてやって
上記の素数とは別にnより大きな素数pをとる。
最後にpq≡1 (mod r(0)…r(n+1) )、pq≡-1 (mod s(0)…s(n+1) )
みたす整数qを中国剰余定理より求める。
>>731 氏がやった通り、算術級数定理よりqの値を素数にすることができる。
(たぶんこれが、出題者の意図した算術級数定理を用いた解答)
ただ実はqが素数である必要は実はなく、qがn以下の素数で割り切れなければ
題意を満たすことが言える(その際に
>>693 と似た議論を用いる)。
例えばn以下の任意の素数tに対してさらにq≡1 (mod t)をみたす。
ように正の整数qをとればよい。
(そしてこれが、たぶん出題者の意図した算術級数定理を用いない解答)
あと、
>>735 で「n以下の任意の素数t」と書きましたが、
勿論、tはr(i),s(i)以外の値をとりますw
>>738 え？締め切り翌日には掲載されてたけど。
今月のエレ解、「数学」とか「エレガント」のタグがついてないね
>>714 個人的にはなかなか楽しめた問題だったわ。
これならどうなるでしょう？
485１３２人目の素数さん2020/07/22(水) 09:39:00.16ID:h9mML7y2
>>486 >>487
今月のエレガントな問題を少し変更したやつ
[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする
n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
>>745 解けるよ。解き方は元の問題とほぼ同じだからここには書かないけど。
ていうか、これどこのスレ？
>>747 うーん、本当に同じ手法で解けたんだけどな。俺何か勘違いしてるかなあ。ただ、かなり邪道な手法だが。
締切以降に書くわ。
>>748 そうか、自分が勘違いしてる可能性もある
締切後、解答頼む
2^(1+1/n)/(2^(1/n) - 1) = 1 + (2^(1/n) + 1)/(2^(1/n) - 1) = 2 ＋ 2/(2^(1/n) - 1)
出題2解答
答えも見つけ方もネット見りゃ分かったけど、これしかアプローチが無いのはなんだかなあ
>>745 はこうか？
コレ無理数度で解けた人いる？
泥臭いというかなんというか、
大雑把にいうとこんな感じ？
>>757 間違えた
×フーリエ変換
○テイラー展開
>>757 もう一つ訂正で、確率を足算しているから、見つかる確率ではなくその桁に等号が成り立たないnがいくつあるかの平均だな。
俺の直感ではもともと不成立
>>760 なんだよな
まぁ正則連分数表示を求めるアルゴリズム作って正則連分数近似の中から探すとかにすればややかっこよくなるだけで本質的に計算機で探すしかうまい手が見つからない
irratinality measureがらみなんだけどうえから評価でなくて下から評価であんまり研究が見つからない
>>752 n = 777451915729368;
2n/log(2) = 2243252046704767 - 0.0331107460500546… /n,
2/(2^(1/n) -1) = 2243252046704766 + 0.08241378404327… /n
= coth(log(2)/2n) - 1,
辺々引いて
2/(2^(1/n) - 1) + 1 - 2n/log(2)
= coth(log(2)/2n) - 2n/log(2)
= (1/3)(log(2)/2n) - (1/45)(log(2)/2n)^3 + (2/945)(log(2)/2n)^5 - … (マクローリン)
= 0.11552453009332422 /n - …
>>954 n = 140894092055857794;
2n/log(2) = 406534415799078269 - 0.09254321204766 /n,
2^(1+1/n)/(2^(1/n) -1) = 406534415799078270 + 0.022981318045663 /n
= coth(log(2)/2n) + 1,
辺々引いて
2^(1+1/n)/(2^(1/n) -1) -1 - 2n/log(2)
= coth(log(2)/2n) - 2n/log(2)
= (1/3)(log(2)/2n) - (1/45)(log(2)/2n)^3 + (2/945)(log(2)/2n)^5 - …
= 0.11552453009332422 /n - …
ディリクレのディオファントス近似定理
8月号問2から続けて3問似た系統の問題だな。
きょう出題１に応募したら859番でした。
でもこういう奴の方がある意味難しい
確かに
敢えて論争を仕掛けて見るテスト
8月号の出題2、この辺
https://oeis.org/A129935 を見ても一番小さい例外は 777451915729368 みたいなんだけど、正しいのだろうか。
>>757 の考え方で行くとその数まで例外が無い確率って1.7%ぐらいなんだけど、
見落としはないのかなあ。
>>773 検証プログラム作成時
1より大きい無理数αに対し正規連分数の打ち切り近似有理数列ri(α)を
r0(α)=[α]、
r(i+1)(α)=[α]+1/ri(1/(α-[α]))
で定める
補題
任意の奇数iに対しri(α)はαの上からの近似であり、分母がri(α)の分母以下である任意の上からの近似の中で最良である
系
2/(2^(1/n)-1)の天井と2n/(log2)の床が一致しないものが存在するならば、その最小を与えるものはある奇数iについてri(2/log2)の分母として得られる自然数に限られる
主張
奇数iに対し
ri(2/log2)=p/q、
r(i+1)(2/log2)=r/s、
r(i+2)(2/log2)=t/u
とおく
1) qが反例を与えるには(p/q-2/log2)q^2<log2/6が必要である。特に
(p/q-t/u)q^2<log2/6‥①
が必要である
2)qが反例を与えるには(p/q-2/log2)q^2<log2/6-(log2)^3/360/q^2なら十分である。特に
(p/q-r/s+1/q^4)q^2<log2/6‥②
なら十分である
定理
最小の反例はr39(2/log2)の分母である
n= 777451915729368
である
∵) r1(2/log2)=3/1であるがn=1は明らかに反例を与えない
i:3～37である奇数に対し主張の①を満たすものはない
i=39のとき主張の②は満たされる
import Data.Ratio
(1,0.1111111111111111,1.1428571428571428,1)
>>774 コード間違ってた
1/log2正規連分数の打ち切り近似を2倍しても2/log2の正規連分数の打ち切り近似にはならん
コード直したらn=777451915729368はi=35での上から評価だった
import Data.Ratio
-- 一般化連分数から有理数近似列を作成
fracs bs cs = id
$ map (head.fst)
$ iterate (\([[p,q],[p',q']],n) -> ([[(bs!!n)*p+(cs!!n)*p',(bs!!n)*q+(cs!!n)*q'],[p,q]],n+1))
$ ([[bs!!0,1],[1,0]],1)
rats bs cs = id
$ map (\[x,y] -> x%y)
$ fracs bs cs
-- 2/(log2) の一般化連分数の作成
bs = 2:[2..]
cs = [0,2,1]++((concat [[k^2,k^2] | k<-[2..]]))
-- 有理数近似列から正規連分数の作成
makeRbs ratapxs = let
makeRbsMain rs = let
apx1 = truncate $ rs !! 0
apx2 = truncate $ rs !! 1
newrs = map (recip.(+(-(fromInteger $ apx1)))) rs
in if apx1 == apx2
then (apx1:(makeRbsMain newrs))
else makeRbsMain $ tail rs
in makeRbsMain ratapxs
-- 2/(log2) の正規連分数の作成
rbs = makeRbs $ drop 10 $ rats bs cs
rcs = repeat 1
-- 1/(log2) の正規連分数から有理数近似列を作成
rrats = rats rbs rcs
--rrats = map (*2) $ rats rbs rcs
-- 反例を与えるための必要条件 ind1<(log2)/6 と
-- 反例を与えるための十分条件 ind2<(log2)/6 の
-- 検証
tests = [ (k,ind1,ind2,n) |
k<-[1,3..],
let x = rrats !! k,
let y = rrats !! (k+1),
let z = rrats !! (k+2),
let n = denominator x,
let rn = fromInteger $ n,
let ind1 = fromRational $ (x-z)*rn^2,
let ind2 = fromRational $ (x-y+1/rn^4)*rn^2
]
main = do
mapM_ print $ take 18 $ tests
(1,0.1111111111111111,1.125,1)
>>752 と一致したが････
エレガントとは思えませぬ。。。
>>779 存在するか？
なんだからそりゃ反例一個あげれば終わりでしょ？
>>774-778 は
>>773 へのレスだよ
ホントにn<777451915729368までに解が存在しないか一個ずつ計算したらいかに計算機でも辛い
連分数のテクニック使わないとn=777451915729368が最小の反例は計算機使っても苦しいと思う
きょう出題２に応募したら869番でした。
>>636 2020年3月号出題２
(別解)
n=7L かつ 成分の中に1～7がL個ずつ現れるもの全体をAとする。
スターリングの公式から
#A = (7L)!/(L!)^7 ～ k･(7^n)･n^(-3)･exp(-4/n),
k = (√7)/(7/2π)^3 = 3.658504
ここで 0<c<7 とすると、じゅうぶん大きいnについて
#A > c^n,
∴ c<7 で成立。
>>607 >>613-614 2020年4月号出題２
〔定理2〕
Sがn点のとき、これ以上線が曳けなくなるまでに
min{ [2n/5], [3(n-1)/7] } 本の線が必要。
〔系〕
n≠1,3,8 の場合は [2n/5] 本の線が必要。
>>622 >>653-656 2020年6月号出題１
〔命題〕
nから始めて操作(1)(2)で１に辿り着かない条件は次のいずれか。
① 3の倍数
② すべての桁が奇数
③ 順不同で {1,1,1,4} または {1,1,1,8}
④ ②,③を満たす数を、繰上りなしに何回か2倍して得られるもの
これらが１に辿り着かないことの確認は難しくない。
しかし逆は、次の補題を使っても難しい････
〔補題〕
①～④を満たさないnを、うまく桁を入れ替えてから2で割れば
②を満たさないようにできる。
>>785 訂正 出題2の3だけど、自然な構成では本質的に平方数が顔を出す。如何に不自然にするかがポイントらしいが、何のためにこんなことしなきゃならんのか分からなくなってきて落ち込んでる
エレガントな問題を来月に期待しよう
>>791 時弘先生と岩沢宏和だったな。
岩沢の確率本には、他の本が書かないようなことが載っていて、個人的にはかなり面白い。
>>782 きょう出題１に応募したら941番でした。
今月は出題２でがんばろう。
2020年9月号
2020年9月号
2020年9月号
〔出題２〕
>>798 そうとしか読めんだろ。
役員0人は許されるのか？とは思ったが。
fの定義域が正の整数だから役員0人はだめってことなんだろうな
出題2完答できた人いる？
2020年10月号
>>803 スマートですな
絶対値の極限を考える方法もある
簡単過ぎもせず、エレガントな解答を競うにはうってつけの良問か
さて出題2
（1）はいいとして（2）は難しい
（3）に届かなかった人が多いと予想
2020年11月号
11月号 出題１
⊿ABCの各内角が120°より小さいとき、
所与の3辺の比に対しPは正三角形の2辺で決まる2つのアポロニウス円の交点だから高々2点
チョト一般化してみた。
辺長が a'= BC sin(A｡), b'= CA sin(B｡), c'= AB sin(C｡) である三角形の
出題文に「三次元への拡張など」とあるけど、どうするのかな？
>>813 それもアポロニウスの3円（球）を考えれば良さそう
>>812 面積で表わすなら
⊿A｡B｡C。= (1/2)(2R)^2 sin(A｡)sin(B｡)sin(C｡)
= (1/2){sin(A｡)cos(A｡)BC^2 + sin(B)cos(B｡)CA^2 + sin(C｡)cos(C｡)AB^2 ± 4S'},
S' = S(a' ,b', c')
かな
>>811 辺長が B'C'= BC･sin(A｡), C'A'= CA･sin(B｡), A'B'= AB･sin(C｡) である三角形の
頂角を ∠A'=α, ∠B'=β, ∠C'=γ とする。
・点PがΓの内側にある組
辺C'A' の外側に、内角 A｡,B｡,C。の三角形を貼り付け、C'A'D' とする。
∠D' = B。
A'D' = CA･sin(C｡), B'A' = AB･sin(C｡), ∠B'A'D' = α+A｡,
B'C' = BC･sin(A｡), C'D' = CA･sin(A｡), ∠B'C'D' = γ+C｡,
二辺が CA, AB で挟角が α+A。の三角形の対辺は x = B'D'/sin(C｡),
二辺が AB, BC で挟角が β+B。の三角形の対辺は y,
二辺が BC, CA で挟角が γ+C。の三角形の対辺は z = B'D'/sin(A｡),
同様にして x/sin(A｡) = y/sin(B｡) = z/sin(C｡) (= 2R)
これら3つの⊿の頂角の和は 180°+ 180°= 360°
点Pの周りにこれらの⊿を並べてできる、辺長 x,y,z の⊿は題意をみたす。
・点PがΓの外側にある組
辺C'A' の内側に 内角 A｡,B｡,C。の三角形を貼り付け、C'A'E' とする。
∠E' = B。
A'E' = CA･sin(C｡), B'A' = AB･sin(C｡), ∠B'A'E' = |α-A｡|,
B'C' = BC･sin(A｡), C'E' = CA･sin(A｡), ∠B'C'E' = |γ-C｡|,
二辺が CA, AB で挟角が |α-A｡| の三角形の対辺は x = B'E'/sin(C｡),
二辺が AB, BC で挟角が |β-B｡| の三角形の対辺は y,
二辺が BC, CA で挟角が |γ-C｡| の三角形の対辺は z = B'E'/sin(A｡),
同様にして x/sin(A｡) = y/sin(B｡) = z/sin(C｡) (= 2R*)
2つの⊿の頂角の和が、他の⊿の頂角。
点Pの周りにこれらの⊿を重ねて残る、辺長 x,y,z の⊿は題意をみたす。
今更だけど10月号出題2の小問2と3解けた人いる？
「A｡, B｡, C。が平面上の相異なる3点としたとき････」
････というのは問２の⊿DEFの話でした。ｽﾏｿ
問2は三角形じゃなきゃだめかね？
「下図を得るような漸化式を…」と言ってて、その図では⊿なんだが…
一般には三角形になるんだけど、初期値によっては三角形にならないMがある。どんな初期値でも三角形になるか？823の例だと流石に無理だよね、って話
６点が共線の場合も含むと解釈すると、それを悪用していつでも共線化してしまう点列が問１と同様に作れてしまう
>>826 問題を曖昧にして解答者の間口を拡げたとは考えられないか？考えられないかそうだよな
でも823は三角形にできんでしょ？こんな例はつまらんけど
ケーキカットは単純なロジックパズルで簡単だった
２月号 出題２
「上の例のような8点の組」が (;(a,b)を交換した点も含む）必要は無い
(a,b)交換しないなら a≒b もペル方程式も関係ないな…
「ピタゴラス三角形の一般的表現」て複素数の2乗みたいな式？
今月号の出題１は、10進数に限らず、一般化できそうだな。
う～む
「上の例のような」という条件に反してるんじゃない？
原点でいいなら簡単過ぎるし、2つの図は明らかに原点中心じゃないからな
一般化して、h進法で考える。
以上を踏まえて、以下のようになる。
n＜hのとき
aの任意の素因数pに対して、v(p:n)≧v(p:a)となるとき
mlog(n)=log(n^m)≧log(h^{k-1})=(k-1)log(h)より
m＞(k-1){log(h)/log(n)}≧k-1よりm≧k-1+1=kがいえるから、
aの任意の素因数pに対して、
v(p:n^m)=m・v(p:n)≧k・v(p:a)=v(p:a^k)がいえるから、
>>840 より、任意の正の整数mに対して、n^M≡n^m (mod h^k)をみたす
整数M＞mの存在ががいえる。
aのある素因数p'に対して、v(p':n)＜v(p':a)となるとき
m=1のとき、任意の2以上の整数Mに対して、n^Mとnはmod h^kで合同にならない。
したがって、n^M≡n^m (mod h^k)とはいえない。
n≧hのとき
aのある素因数p'に対して、v(p':n)≦v(p':a)となるとき
klog(h)=log(h^k)＞log(n^m)=mlog(n)より
k＞m{log(n)/log(h)}≧mよりk＞mがいえるから、
aのある素因数p'に対して、
v(p':a^k)=k・v(p':a)＞m・v(p':n)=v(p':n^m)がいえるから、
>>840 より、n^M≡n^m (mod h^k)とはいえない。
n≧h、a＞1かつ、aの任意の素因数pに対して、v(p:n)＞v(p:a)となるとき
この場合は、上記のような一般論を展開するのは難しいです。
ただ、hがsquare freeの場合以下のように議論できます。
h^(s-1)≦n＜h^sをみたす整数sをとる。
aの任意の素因数pに対して、v(p:n)≧sとなるとき
h^(k-1)≦n^m＜h^(sm)よりk＝k-1＋1≦sm
がいえるから、
v(p:n^m)=m・v(p:n)≧sm、v(p:h^k)=kv(p:h)=kより
aの任意の素因数pに対して、v(p:h^k)≧v(p:h^k)がいえるので
>>840 より、任意の正の整数mに対して、n^M≡n^m (mod h^k)をみたす
整数M＞mの存在ががいえる。
aのある素因数p'に対して、v(p':n)＜sとなるとき
m=1のとき、任意の2以上の整数Mに対して、n^Mとnはmod h^sで合同にならない。
したがって、n^M≡n^m (mod h^k)とはいえない。
出題2はまぁヒントというか縛りというかの意味がわかれば一瞬やな
なるほど。4点ずつ同一円周に近づけて x⇔y ですか。
でも 円の中心は |x-y| ≧1 ですから、
2つの円の中心は √2 以上離れてますよね。(傾き-1)
そうすると 円周もそのぐらい離れるような････
4点ずつが同一円周にかなり近い、ということが却って、
8点が同一円周に近づくのを難しくする希ガス。
>>833 そのとおり。
>>844 まぁとは言え例示されてる例がその方法で作ってる8点で「このようにして作れ」なんだからしょうがないと思いますけどねぇ？
もちろんそれ以外の方法で実際に「同一円周上にない8点と中心“もどき”で“半径もどき”の差が0に近づく例」を見つけられればいいですけど
多分一松先生の気持ちとしてはy=x±constに件の格子点が無限にある事とかも気づいて下さいねっぽいのに、それをガン無視するのもどうなんだろうという気もする
その方法で「8点の組が、いくらでも正確に同一円周上の点列に近づく」例が見つかるのかなぁ。
P((α+ρ)^2) |α| >> |ρ|
OPが最大になるのは ρ/α>0 のとき
その2点の距離を直径2Rとすると
αとρの偏角の差δを使えば…
> ρとして 1+2i とか使っていいなら ρ=2+i も使えば簡単に8点作れるけど、
出題2のほにゃほにゃをきちんと示せるかがポイントだな
出題1の（2）だが、実際に9個八面体を造る奴が、かなりいると思う。
八面体9個じゃなくて、八面体6個と十二面体3個だったw
蛇足だけど。
>>861 バカめ
オレなんか1ミリもわからんわワッハッハ
orz
3月号出題2はお茶を濁す解答になってしまった。変数変換後の領域(像)をどこまで正確に論じるか
sin,cosの代わりにsinh,cosh使うだけか
うむ。 >>865 うむ。 >>865 元のsin,cosの方は
n=2の場合でsinh(x),cosh(x)使うと結局Σ1/(2n-1)^2の別計算になるんだな
>>870 突起部を平面 x+y+z = 3a で切った断面を考える。
中心 (a,a,a) から最も遠い点は 2曲面の交線上にあり、
(a-2e^(-2a), a, a+2e^(-2a)) とその rotation で、
中心からの距離は 2(√2)e^(-2a)
と近似される。
さらに断面を正三角形と仮定すると面積は
S = 6(√3)e^(-4a),
この平面と O(0,0,0) の距離は h = (x+y+z)/√3 = a√3 だから
S(h) = 6(√3)e^(-4h/√3),
突起部 (x+y+z>2) の体積は
∫[2/√3, ∞] S(h) dh ≒ (9/2)e^(-8/3) = 0.31267553
ぐらいかな？
0 < x+y+z < log(1+√2) = b = 0.881373587 の部分は
訂正ｽﾏｿ
今月号の1番は4直線と正方形の配置は問題文の例の図に決め打ちしていいんかな？
>>879 色々見つけたならどれか1個示せばよいかと。
余裕あるなら網羅すればよいかと
おれはいつも最低要求レベルの答案で満足してる
>>880 イヤイヤ、方法が色々あるんじゃなくて4点と言っても正方形と4直線の関わり方でいくつかケースがあって、「このケースならこの方法で作図できて、このケースならこの方法で作図できて‥」といっぱいケースがあるんだよ
あんまり細かいこと書くとヒントになるから描けないけどオレの方法だと円書いて点取ってそこから幾ばくか離れたところに点取るとき右なのか左なのかとかケースによって変わってきて微妙に作図方法が変わる
2、3例しかないならまだしもいっぱい配置がありうるんだよ
どうしたもんかなと思って
見つかる四角形が問題文中に例示されてる配置に決まってるならそんな心配いらないんだけど
そら問題文の図だけじゃなくて一般的に論じるのがベターだろ
>>882 そうだわな
となるととてもエレガントとは言えんのかな
再考
進みが速いなあ
4月号だし簡単だろと思ってたら意外とむずいんだが？
5月号じゃない？簡単なのは。新入生が買うのはそれだから。
>>877-878 0<x+y+z<b が 0.114
b<x+y+z<2 が 0.627
2<x+y+z が 0.311
合わせて 1.052
理論値 (7/8)ζ(3) = 1.0518 に近い…
ζ(3) = Σ[n=1,∞] 1/n^3 を「アペリーの定数」
2021年４月号
>>892 うむ。十分性の議論がきちんとできたかどうかがポイントかな
問１も面白かったな
2/8〆のやつ？
誰か出題1の答えあげてよ
まず4直線ではなく3直線を通る正方形を考える。これは無数にある
最初のステップ、3直線を通る正方形については、少なくとも頂点の1つが直線の交点となる極端なケースでは作図可能
オレがつけた作図可能の証明
作図可能性を言いたいだけなら線形代数でよくないか？
回転の中点点を(X,Y)として4本の直線k,l,m,nを(X,Y)を中心に0,R,2R,3R回転して得られる直線の方程式はX,Yの一次式で得られる
コレでよかったのか
5月号なら簡単だろと思ってたらこれもむずいんだが？
簡単そうと思って手を付けずにいたんだが難しい、だと？
だよな
>>914 問2はガロア拡大が活躍する典型問題
ガロアを使う解答はエレガントだけどエレ解としてはエレガントでないという矛盾
今月号の出題1だが、ガロア理論の「ガ」の字もでてこなかったんだけど・・・。
ガロア理論使わない解答がもちろん想定解だろう
0でない整数mが素数pのu乗で割り切れ、かつu+1乗で割り切れないとき
ここで補題を二つ上げる。
a=1,b=-1のとき
平方数ではない整数wに対してwが平方非剰余となるような素数pが必ず存在することの証明
>>924 ×v(q?0:w)
〇v(q_0:w)
奇素数ベキのa=1,b=-1がネックだったんだがv(p:m)≠1か‥気づかなかったな
出題１
生姜ねゑな。。。
ところで 2(qω)^3 - 1 = 0 からも
ω = (-1 + (√3)ｉ)/2 は１の3乗根ですた。ｽﾏｿ
解けるのは解けるけど答えだけ見るとすごいシンプルな式になる
>>927 > (n-1)/2個の正の整数のの和とy.^(n-1)の和であるからコレが±1となることはない
なんで？
>>936 x^(n-1)-x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+‥+y^(n-1)はxとyが異符号の場合には上記の和はぜんぶ同符号なのでもちろん±1になることはない
x>yの場合には前から２つずつくみあわせて一般項は
x^(2i)y^j - x^(2i-1)y^(j+1)
で必ず正
それに最後の項y^(n-1)も正なので総和は1より大きい
両方負の場合も同じ
あぁ、凸不等式なら一発か
>>930 |λ| = √{q/(1-q)} = 1.9614591767
-cosφ = sin(πθ/2) = √{(1-q)/2} = 0.3211693276
sinφ = cos(πθ/2) = √{(1-q)/2} (√3)/(2q-1) = 0.9470217859
|a|, |b|, |c| の少なくとも一つは１より大きくなり…
>>929 漸化式
a_{n+1} = 2b_n - a_{n-1},
b_{n+1} = 2c_n - b_{n-1},
c_{n+1} = a_n - c_{n-1},
u_{n+6} + 3u_{n+4} - 4u_{n+3} + 3u_{n+2} + u_n = 0,
特性多項式
(tt+1)^3 - 4t^3
= (tt - 2qt + 1){tt + 2qqt + q/(1-q)}{tt + 2q(1-q)t +(1-q)/q}
= (t - e^{iπθ}) (t - e^{-iπθ}) (t - λ) (t - λ') (t - 1/λ) (t - 1/λ')
受験数学ではありえないテーマやな
あ、もしかしたら簡単すぎるやんって意味？
やっぱり簡単すぎるよなあ
この問題を言い換えると、取りうるθを全部求めよってことだと思うけど
解1
こういうエレガントがどうこう言ってる限りダメだな
エレガントで無くていいから
エレガントで無くていいから
2021年６月号
2021年６月号
(2)で不可能なのはn=2,4,5のみ
タイルの問題(1)の意味あるか？なんかヒントになってた？
あとn=5の時に不可能である事を示すのは(1)の方が難しい
オレ的なキーは
(2)の条件を緩めて
9×5
訂正
おお、やっぱりこういう解答があったか
m×n の長方形の場合
オレの答えと違うな
>>962 ラベルを利用する方法だと難易度は同じかな
>>980 出題1の2はなんとか
さて可微分はどすっぺ
とりあえず概略
主張
>>990 要するにこの問題はそこがミソ
有理数b/aを座標平面の格子点(a,b)に対応させて考える
すると1/2と3/1の中点4/3は(2,1)と(1,3)の和(3,4)を対応させていることになる
なので“中点を保存する写像”とは座標平面上では“和を保存する写像”となりすなわち“一時変換”ということになる
なので考えている区間がたとえば[0/1,1/0]から[2/3,3/4]なら(1,0)を(3,2)に、(0,1)を(4,3)に写す線形写像だから行列[[3,4],[2,3]]で表される写像で、y/xを(2x+3y)/(3x+4y)に写す写像だからf(t)=(2+3t)/(3+4t)と求まる
この“一次分数関数”を“行列”で考えるテクニックは超頻出テクニックで最もよく使われるテクニック
有理数近似の理論とか連分数の理論とかで頻出
時々受験数学レベルでも出てくる
ただしこのテクニックがうまく機能するには出てくる行列の行列式が±1出ないとダメで不通その前提条件で考えるけど、この問題はその前提外したらどうなりますかというお話
このテクニック知ってる人間ならその“出題者の意図”が透けて見えるので考えるべきポイントもすぐわかる
逆にコレ知らないと中々手でないかもね
>>991 なんか納得いかないなw
LR表記がミスリードにしかならんよ
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