福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレδ

週刊□福島廃炉
α=1486207162
β=1584849320
γ=1655045111

化学、IT、建築のスレにすることが目標。
バイオは遅れることもありますけど1月に1回で年末締めで帳尻を合わせる。
フルで明示的な機械記述言語を探索する。航空宇宙の自動作成と運行を実行するため。
物理数理も時々する。
応用力から原子力に収束させる。
バイオから様々な病気を攻略しそちら方面からの原子力も向上させる。

確かに建築の本式な修繕技術を開発して市場的に売って廃炉に充当するのはありですね。
さて初トピとしてはカルマンフィルタであります。フィルタは直ぐに推定と読み替える。
カルマン推定。どんな分野だろう？興味津々だね？
即席勉強で臨んでいるので今日1週で出来なくて来週もになることあるかな。

量子力学の観測問題研究の参考にもなるのでみんなで概念を学ぼう。
核融合炉でも航空宇宙でも科学研究でも交通でもこの考え方は本質的。
社会科の研究で使えるかはちょっと今考慮していないのでどうなのかな。
↓

システムの運動方程式があるとする。
幾つかの変数が時間発展し、誤差は経時的に増大し続ける。

観測という運動状態への仕切り直しが存在している。
ところが観測もまた不完全である。
　
　
カルマン推定はこの問題をこんな風に整理する。
変数の期待値、変数のガウス正規分布誤差。
観測の観測値、観測の不確かさ精度を表すガウス正規分布誤差。

1変数1観測でします。多観測を同時に入れたり、多変数を扱ったりは自明拡張。

かどが立つかも知れない話題の放射性廃棄物の南極投棄案について。
（反対者の）理屈がおかしいと思うのですよね。
禁止されている←その人が何を知っていた？原子力発電まで見てた？
成り行きで裁定しただけのものを、これからの道を可能性を論じないために使うのは
無いと思う。法律ではなく科学で問題を解く姿勢で臨むようにしようと私は言い返したい。

氷床には意味がない←投棄手法として氷床を使う想定では必ずしもない。
単なるニックネームとしての氷床呼びならその方を封じてもらわないと。
言い換えによって真剣さを外していると一発で言われてしまう。
真剣に見れば南極大陸自体多様な世界であることは理解される。

現実の南極大陸は非常に広い。オーストラリアの２倍の面積を有し、
北南米大陸の片割れの次順位の広さである。差し渡しは4000�q。
我々はここに文明都市を作ろうと前リプで書いたばかりだが、科学文明無しでは
不可能なもので、原始人がここに来ることは当分あり得ない。
アクセスも難渋で、来れるようになった段階で事態を相当理解できる水準になっていることが期待できる。
　
　
今後の地球史を考えても、野生動物も別の知的生物も数百万年も近づかないという
土俵が余裕で確保できる。もちろん数少ない南極原生の生物については先に調べる。
赤道以北で活動していることが多い地球上の多くの生物と１万�qの距離を取れる。

対する地層は距離が300m。1万�qと300mでは比べものにならないと思う。
そこに差し渡し10�qも取れば世界中の主体的運営者は高々数十国の廃棄物は置ける。
平和が壊れた時とかそれは単に人間社会が問題。壊さなければいい。

海洋投棄とは並べる筋合いでもない。周囲の媒体への染み出しが海と大気では
180度ほども違う。同列では全くなく南極は良く海洋はダメと私も思いますね。
現在の南極関係の法律は対戦争対策なので、未来へ向けては戦争を抑えて良い物を
選ぶべきだと思います。物理的に最も遠隔に置けるのはとても良い案の筈。

（（ａ×３）×１８０）×３６０）×∞））（ａ）

今日はカルマンフィルタの最短を語り、来週はそれが著者によって
変数や構成が結構違うのを読者がどの書法にも対応できるようなこつ作りと
リッカチ方程式に代表される現代制御の演算子がいっぱい並ぶ方程式の見方。

n変数の内部状態ベクトル x(k+1) = A x(k)
Aはnn行列型の単位時間推進演算子。

少し飾り付けをする。
x(k+1) = A x(k) + b v(k)
y(k) = c･x(k) + w(k)

v(k)…数、内部雑音
w(k)…数、観測雑音
b…nベクトル、雑音の寄与係数
c…nベクトル、内部状態と内積を取り出力主要項
y(k)…数、出力、最も大事（スカラ時系列データ）
　
　
量子力学で言えば波束の時間依存での拡がり、機械では単純に精度やシステム揺らぎ
そのAとvへの分配は少し任意かもしれない。具体問題は置いておいて
上の方程式でやる。内部と観測の両方に確率量がある普通の問題でどうするか。
スカラ時系列データ出力だけを得てxにどれだけのことが言えるだろうか。

解まで一気に進もう。応用は後から考えてくれれば。
流体のランジュバン方程式がより物理的ながらこのシステムだそう。

方程式をつらつらと眺めてみる。vが毎時の確率的量として入り、次の時では
もう確率付き量として扱うしかない。とはいえvはあくまで雑音なのだから
それが無い場合の真値もきちんと定義される量である。
方程式は真値と揺らぎを持つ量として動く。揺らぎは分散だけで管理する。
揺らぎの関数形は仮定せず、平均二乗誤差こと分散。

先の方程式の上部構造としてカルマンフィルタが登場。
揺らぎ変数を増やすと観測が逆に内部状態を精密化する様子を書ける。
ちなみにwが無いのが出力、wを付けて観測である。

x(k-1)→x(k)。kはステップ時間のことであるが、これを
時間発展し、観測による修正を受け取る2段階に分ける。
時間発展だけしたのを事前推定値x1(k)、修正したのを事後推定値x2(k)という。
元々内部のことは見れないので推定の言葉が付いている。

xは真値、e1=x-x1、e2(k)=x(k)-x2(k)は誤差変数。引数(k)は適当に省略。
（教科書ではx=x、x^-=x1、x^=x2、x~-=e1、x~=e2だった。誤差の正負は逆でも）
時間発展は x1(k) = A x2(k-1) わかりやすいはず。
前の時間の事後をA掛けて次の時間の事前にする。

真値元方程式では x(x) = A x(k-1) + b v(k) だったがこの推定版が上式。
付随的な内部雑音とか観測からの反映はこれから書いていく。
　
　
無関係量の構造を把握しておく。確率量の世界でE[]を期待値汎関数とする。
そして或るaとbが無縁(無関係･直交)な量のとき、E[a b] = 0。
この辺の初歩は相関係数や共分散の話なので各自でね。

常識的にこの2変数に相関があるはずがないという所にE[･･] = 0 という式を
設定して、変形の重要な出発点である。

さて或る時刻kにおいて次のどの変数引数もkとして x2 = G x1 + g y
こんな感じで観測による修正というのはいいはずだよね？
色々な式からG(k)とg(k)いわゆるカルマンゲインを決めてしまう。
と共分散行列Pが現れることがありそれの時間発展も決める。

何と何が無縁かの色々。i=0,…,k-1。何となくそうかな？で式化で。
y(i)とw(k)、y(i)とe1(k)、y(i)とe2(k)
定義だけちょっとずつ暗記しておいたら以下3リプ式は追えるだろう。

e2 = x - x2 = x - (G x1 + g y) = x - G (x - e1) - g c･x - g w

上は全部引数kで、E[e2(k) y(i)]とすると、無縁落ちで
= x - G x - g c･x = (I - G - g c･) x(k)

x(k)の左は全体としてnn行列型。Gもnn行列でgはnベクトル。
E[x(k) y(i)] = 0とは言えないから、iの履歴全部について0になるようなのは
I - G - g c･ = 0。 Gとgの関係式が得られてしまった。

改めて x2 = G x1 + g y = x1 + g (y - c･x1) = x1 + g (c･e1 + w)

ところで直ぐ上の y - c･x1 (= c･e1 + w)は観測-予測なので、観測の新情報の本体である。
E[e2 (c･e1 + w)T] = 0 を設定してみる。Tは転置で通常縦のを横ベクトル化。
但し元々cが横ベクトル型で使われていたからきちんとではなく
目印にだけTを使うから補ってもらえば。またwはスカラでTは不要。

e2 = x - x2 = x - x1 - g (c･e1 + w) = (I - g c･) e1 - g w だから
E[{(I - g c･) e1 - g w} (c･e1 + w)T] = 0

観測雑音wはe1とは無関係だろうから、直上E内のたすき掛け部は0となり、
E[(I - g c･) e1 (c･e1)T - g w w] = 0

定数を外に出して項を分けて (I - g c･) E[e1 e1T] ･c - g E[w w] = 0
cとe1の順序を右側入れ替えてる。E[e1 e1T]は行列型で左右のcとの内積でスカラになる。

E[w w] =: σw は観測の分散。E[e1 e1T] =: P1 を(事前)共分散行列と言う。

(I - g c･) P1 ･c - g σw = 0 から
カルマンゲイン(nベクトル) g = (P1 ･c) /(c･ P1 ･c + σw)

x1からx2を求めるのにg(k)を使わなければいけないのだから
上gの式からはPの時間発展理論が要請される。
これまでのことから
e1(k+1) = x(k+1) - x1(k+1) = A x + b v - A x2 = A e2 + b v

P1(k+1) = E[e1(k+1) e1T(k+1)] = E[(A e2 + b v) (A e2 + b v)T]
状態誤差e2と内部雑音v(スカラ)も互いに独立と思う。
= E[A e2 e2T AT + v^2 b bT]
= A P2 AT + σv b bT
(事後)共分散行列と内部雑音の分散を変数化している。
これでPの時間発展式が求められている。vで少し大きくなる様子も見て取れる。
　
　
前リプ5行目を使い
P2 = E[e2 e2T] = E[{(I - g c･) e1 - g w} {(I - g c･) e1 - g w}T]
またその下でも言及したがwとe1は互いに独立で
= (I - g c･) E[e1 e1T] (I - ･c gT) + g E[w w] gT

ところでさらにその下で言及している式が使える。
= (I - g c･) E[e1 e1T] (I - ･c gT) + (I - g c･) E[e1 e1T] ･c gT
= (I - g c･) E[e1 e1T]
= (I - g c･) P1
これでPの事前から事後への更新式が求められている。
P1からP2へはgというP1とσwによる式を使い観測値y自体は無い。

以上でカルマン理論が出来上がった。
c･などは添字表示か行列そのものを思い浮かべてもらう。単純にc･は横、･cは縦ベクトル。

制御工学の最大物は核融合発電だと思う。
星の中心圧で漸く可能となる現象を日常世界の中で管理して原子核反応として実現する。
いまだ淡い形で出来るのか出来ないのかわからないような状態にあるこの
いわゆる未来のエネルギー。

我々が制御工学を学ぶ目的の数個のうちの一つは、結果の形は究極的にはプラズマを
維持管理してエネルギー注入を受けて核融合状態を続ける地点へ帰結する。
成功すればとてつもなく実入りが大きく狙い続ける価値はあるビッグプロジェクト。

個人的感覚としては出来るかすら懐疑的でややネガ派なんだけど
すべきことをするのはいいと思うから、あれこれと間欠的にこの分野に戻っては
それも原子力発電だし新しい物を投入してはみんなで共有していこう。
予感なんて当たらないのは強いAIが見えてきたことで感じていること。
　
　
もちろん従来の発電においても重要である。大電力で人間にとっては危険な状態を
作りながら都市を維持するエネルギーを生んでいるのだから、より安全と効率を追求する
堅実な高度化の要求は事業ある限りずっと続く。火力があり大地を掘る地熱、風力水力がある。
こう制御技術の価値を明確化することで、専攻にする新人が増えてくれるといいな。

制御本には電力のことは少なく、倒立振り子とか交通振動抑えとか通信信号鮮明化とか
の話が多いが、我々としては電力に近い方面からのこの話題のまとめを作って行こう。
放電制圧、超臨界から極超臨界へ、乱流に好きな絵を描かせる。
乱雑なテーマ書きはもっともっと内容があって電力技術になろう。
　
　
さてとは言うものの究極を核融合に狙っているので通り一遍ではなく難しい系
の話に突っ込んでいく。来週は微分方程式と関数解析を論理化して制御工学を表わす。
現代制御は基底変換して項を足し、雑音の正規分布、評価関数を見た平方完成、共分散
こんなもので成っているが、物理数理の微分方程式とつながってなくない？は気づく。
そこを問題視して伝達と伝播、制御現象を散乱と見立てる研究者も居る。論理というのも
if thenのようものではなく公理的集合論があるべきだと。

あまり覚えていない、ちゃんと理解していないという話もある。それで来週には
公理化しようというんだけれど、制御工学、軽い段取りで書いてみようか。
Lyapunov方程式とRiccati方程式。
物理の何々方程式のように求心力を持った存在として現れてるものなので、
数個の方角から攻略して実在感を内に高めるのがおすすめ。次はその一つ。

状態がn自由度でその時間発展がnn行列なAで表される系を考える。
この安定性は如何？状態の基底を線形変換してAを対角化する。
すると対角成分には固有値が並び時間発展ではe^-λtが倍率としてかかるモード分離が
実現して、その倍率がどのモードも縮小方向の変化なら系は安定である。
　
　
次にその現象の境界を考察する。対角化が出来ずにジョルダン標準形を使う時、
対角化されるよりも独立度強く制御方程式としても別の成分と全く無縁になってしまう時。
どちらも教科書に書かれている。
後者はそうして切り離されたモード成分は不可制御・不可観測と言う。
不可制御や不可観測について、現代制御方程式の係数行列を使って人工的に構成した
横長の行列の階数で判定する定理が課程にある。
境界値と言うと数学解析の人は俄然興奮してその微細構造を追い込みたくなるものらしい。閑話休題。
私も少しはその感覚わかるので関数解析の土俵において分析してみたいと思う。

さてLyapunov方程式（P A + A' P = - Q、 'は転置行列）を特徴づけるトピを紹介する。
Aは上の時間発展行列である。任意の正定行列Qに対して或る行列Pが存在して
括弧内の式が満たされるとき、システムは安定である。
そんなことが関係するのかとひとまず納得が行けばLyapunov方程式はわかったと言える。

定行列Qに対して、P = ∫{0,t1} exp(t A') Q exp(t A) dt
というのを考えて変形してみる。
expをeと略記し積分区間と数式末のdtを省略する。exp(t A) A = A exp(t A)などは使う。

P A + A' P
= {∫e(t A') Q e(t A)} A + A' {∫e(t A') Q e(t A)}
= ∫e(t A') {Q A + A' Q} e(t A)
= ∫{e(t A') Q d[e(t A)]/dt} + {d[e(t A')]/dt Q e(t A)}
= ∫d[e(t A') Q e(t A)]/dt
= e(t1 A') Q e(t1 A) - Q

Aの固有値が負ならばP A + A' P = - Qを得る。
これでシステム安定ならLyapunov方程式が少なくとも一つ成立することがわかった。十分条件。
逆にLyapunov方程式を成立させるPとQが一つ以上あれば安定を言おう。必要条件。
　
　
前リプ後半部のような境界部の考察は測度的には小さいので後回しとする。
n変数状態x(t)の基底変換をしてJ x(t)が、Aの固有ベクトルを並べたものになるとする。
J x(t)にexp(t A)で時間発展しても固有ベクトルの並んだままである。
Jは時間で不変で、d/dt[x] = A xはAの定義。

d/dt[ |J x|^2 ] = d/dt[x' J' J x] = x' J' J A x + x' A' J' J x = x' {P A + A' P} x
P = J' Jを定義して導入した。

またd/dt[ |J x|^2 ]が0以下になることが安定の定義である。これを語義的に解体しよう。
右辺は転置などの構造からほぼ正定値型になっている。詳しく知りたくば添字を付けて証明すればいい。
しかしP A + A' Pなどは正定値とは言えず逆にここに隙間があり今全体として負定値になるといいのである。
結局、正定値行列Qがあって、P A + Q' P = - Qを満たすと望まれる状況を成立させ
右辺は負、系は安定になる。これで必要条件が証明されたのである。

多項式論にいくつかの定理がある。
制御工学でも使うラウス・フルビッツの定理
符号変化を語るスツルム・フーリエの定理
既約多項式を判定するアイゼンシュタインを発展させたニュートン多角形の方法
前スレでも語ったことのあるそれに近い話題で済んでるエルミートの定理
無理数と有理数の差をディオファントス近似分数で語る無理数判定
それに近い話題で良く出るパデ近似というもの
判別式の一段深い階層である終結式とベズー形式

こういうのをまとめて本質はこういう所を押さえればいいんだとしたいんだが
今日仕上げは無理だよね。中身が多くて部分的にかじるだけで
準備がまだ全然できていない。
しかし急がないでも十分なまとめを作れば勉強材料になるだろうなので
2-3か月の間にはできているようにと目指す。
いずれも工学数理で重要技術となるだろうはずである。
　
　
本日中に仕上がるかはわからないが既約多項式ニュートン多角形の方法に入って行く。
f(x) = Σ[i=0,N] ai p^bi x^i
台素数pを一つ決めてaiはもうpで割れないとする。どれも整数。

係数のうちbi情報だけを使う。(i,bi)は整数格子点上にある。
pを決め情報を少々捨て、fは格子上の点いくつかで表されることになった。

これを下に凸なように閉包を取る。
すなわち折れ線にしてみてpに関する指数が大きくて上に凹んでいる所は捨てて
その両隣り点同士を直接つないで新折れ線として使う感じで。
Google検索ではNewton polygonで雰囲気のわかる図が出る。

こういう形状への多項式の抽象表現が、積演算に関して単純な規則を示し
明らかに約数を持たないというようなものが図形から読み取れるように作ればいい。

例としてこんな多項式で各aiはpと互いに素とすると
f(t) = a0 + a1 p^2 t + a2 p t^2 + a3 t^3 + a4 p^3 t^4 + a5 p^2 t^5 + a6 p t^6
(0,2,1,0,3,2,1)が格子点だが、
下に明示的に凸になっているキー点以外は捨てる(∞で置き換える、または項を0にする)
(0,∞,∞,0,∞,∞,1)
最初からf(t) = 1 + t^3 + p t^6 だったと思う。

さて多項式は座標平面上の格子点幾つかで代表されて
横方向xは次数、縦方向yは台素数pに関する指数であり
下方向の膨らみのみを重視し、内側上方内の点と境界線上の中間にある点を捨てた。

このようなf(t)とg(t)を掛けるのは、fとgのニュートン多角形を
z=0とz=2平面に置いて、各点同士を全て結びz=1平面に交わらせ
そのz=1平面上に現れた点(xyとも0.5の倍数の筈)を横にも縦にも2倍し、下に凸な閉包を取る。
　
　
積のニュートン多角形はおおよそこんな感じだが論理的に詰めるべき点は
次の後半部に書くが1点ある。
まず下に凸な1点と下に凸な1点で積の下に凸な1点が出来る時これはそのままである。
真下でなく斜めに出ててもいい。係数をai' = ai p^(c i)とcを任意にしながら変換することで
斜めの出っ張りは下に向けられ局所構造としては同じものになるため。
同じ意味で、水平型と下に凸な1点の積で、積にもそんな構造が現れる時も(そのままでいい)

水平型2つの積の時、p=5で(2+t)(3+t)=6+5t+t^2、たすきからpの倍数が出現した。
これが問題点だが、これも良く見れば内側に収まっている。
ゆえに積のニュートン多角形は上記手続きで求まっている。

場合分けの完全な証明と考察、下段落の積型かどうかの判定法作り
まですることはこだわりを持つ人には是非研究心に任せる。
すっきりさせた方が何倍も気持ちいいだろうから是非どうぞ。
プログラムも作れる。

すると、素数pを適当に選び、どう見ても積多項式のニュートン多角形にはなっていない
形のそれを読み取れば、それは既約多項式である。

(1+t^2)(1+p t^3) = 1+t^2+p t^3+p t^5
を読んでみると、ニュートン多角形は
(0,-,0)と(0,-,-,1)から(0,-,0,-,-,1)
線分型の積も一般に折れ線型構造を獲得する。

アイゼンシュタイン判定法は、或る台素数に対して、(0,1),(1からn-1,2以上),(n,0)の場合で
このニュートン多角形は(1,-,…,-,0)
前段落の例から考えこれは積多項式には成りえない。
ということで包含されている。
　
　
ニュートン多角形を用いる既約多項式判定法は以上であるが
積のニュートン多角形に関する定理が先に証明されて、その系としての判定法だった。
これは素敵な数学の特徴で、基本定理はこんな感じで
系がもっと身近なものに役立つアルゴリズムを出せるのである。
定理とアルゴリズムとの関係を味わってもらいたい。
次の似たような定理を読者が作るために。その時の追い求める理想形像の一つ。

さて数論幾何とは多項式と同じ方法で整数を分析する分野であるが
この既約性判定法の先にあたらしい素数判定法があるのではないだろうか。
一変数既約多項式はこんなにも素数に似ているのだから、何かの方法で一変数既約多項式の全てが
素数の上に落ちて来ないだろうか。

そしてニュートン多角形は二変数、三変数にも拡張される。
一変数多項式が多変数に拡張されるときの素数が行く先は。

ユークリッド立体幾何から任意の形の四辺形は点投影で正方形に出来る
ということを扱おう。この事実は原子力においては加工や遮蔽で使える。

機械や制御工学用の公式辿りをしているシリーズ。制御よりも機械と言える。
電気のはまた別の時にする。電気のはゲージ理論の代数的性質から電磁波のや
回路のグラフ理論、確率的回路。そして重電回りの様々、変電所や高圧塔。
6/15ラウス定理、22関数解析、29統計(バイオの1)予定。
バイオは遅れてるが無問題で化学をそう名乗ってすればいい。
化学に還元した方が結局は正解に近いと思うので。
　
　
さて一般に幾何はある次元以上で新話題が少なくなる。
より低次元の一般論で十分解釈できてしまう。
5次元以上の微分幾何は新しい話題が無いとも聞くだろう。
それでも少しはミラー対称性やエキゾチック球面などがある。
数学にも一般論で終わってしまうような難しさの上限があるのかな。
代数幾何も3次元4次元の分類があるが一般次元分類も行けると思う。

立体幾何においては独自に出現する話題はあまり多くはなく
多くが三角法などに落ちてしまう。どちらかと言うと三角法の公式での表現
を裏で読み取っておきそれを隠して論証すればいい程度の簡単な証明が多い。

教科から外れているのは妥当だし、コンテンツは古く
現代視点で分野を作り直せば、また色々入るのではないかとも思える。

また論理からの体系の遊びでユークリッド幾何学は自動で作られるのではないだろうか。

しかしそのような中でなるほど立体らしいというような物事を探している。
↓こういう物がこれから考究して意味がありそう。

平面幾何との差分を作りそれでも新しいというような事。
直線と平面の定理的双対を平面射影幾何の点と直線のそれに還元すること。
3要素が1要素において交わる内容の定理。立体で出る新しい物。
立体角は球面上の図形と同一対象だが最も明細化して書く法。
立体角の満角が4πであることが良く実感されるような数学現象命題群。
平面幾何の最難部分を再学習してインスパイアされる立体の性質が。

今回をきっかけに裏で細々と続ける営為を始めるから
また何か言えることが出て来たらこのテーマに戻る。
それと以前述べたが、ユークリッド平面幾何は通常の人は知らない
双曲線などが登場して書かれる定理がある。こういうのとさらに三次曲線の初等幾何。
　
　
では本題をする。以下次リプ最後まで三角法型。
正方形を点投影で任意四辺形にするのに、自由度の勘定をしてみよう。
正方形を2つの直角2等辺三角形に同等分割する。
この形を底面とする三角柱の断面で任意の三角形が実現できることを見、
それを三角錘にしても断面での作り方はほぼ同じ事情で
三角錐の頂点距離の取り方を変えて2つの片を同一平面に載せて求める四辺形を得れる。

三角形は二辺挟角と言い、2つの辺とその間の角が等しいような三角形同士は合同である。
後ほど三角錐に舞台を移し大きさはスライドで自由に変えられるので
2つの辺の長さ比と角度1つ、即ち2自由度の量を決定すると三角形は同じと思う。

(底面が直角2等辺三角形の)三角柱において、斜長辺を渡るときの角度、
及び直角柱部分の切る位置、これで2自由度である。
言葉で整理した後は、同じ言葉で三角錐の断面が書かれることもわかる。
即ち我々は、正方形の半分の直角2等辺三角形を任意の三角形に点投影する方法を得た。
そのような2つを同一平面にあるように取れてれば(元の形を作れるので)いい。
　
　
錐の頂点距離を変えると何を変えれて結果を任意化する程の操作性があるだろうか？
答は式にしてしまえば読めるように十分な操作性がある。

感覚的には爆発的に拡がる三角錐と全然広がらない三角柱を比べる。
爆発的三角錘でも一部を頂点に近づける断面でその辺を短くしたり任意の三角形を作れる。
しかしその断面はずっと常にほぼ心柱に垂直なまま操作を実現している。
三角柱ではもちろんそうではない。即ち断面角を変えれている。

その操作で2つの3角形の断面角を一致まで持っていけるか、大小関係はいつまでもあるか
一致まで持っていける。実在としての(細長系の)正四角形錘の断面で色々な形が出来ることから実感され
正確には数式書いて見つめればいい。

以上のことを三角法の式にまとめれば使うにも最も便利な結果である。
しかし幾何学とは狭義にはユークリッドの手法である。次リプは作図型の真初等幾何による方法。

底面が平行四辺形の斜めの四角錘を考察する。
斜めによって任意の四辺形を作れるという今の主張なので
設定は適当に取った四角錘である。ともあれこれをO-ABCDと書いてイメージする。
(真っ直ぐ立てるという意味もはっきりしない。重心が垂直線にずっとあるのか別のものか)

O-ABCDの別の断面にオリジナルの四辺形(その名前をABCD)があると思う。
問題の解ができたという仮定の些か中途半端な状況設定から話を始めるのである。
平行四辺形はもちろん求める正方形のことを指す。以下いつも程度の難度なのでわからなければ人と。

どんどん作図をしてこの状況設定が現実であると着地すれば話が終わり。
最初はオリジナルの四辺形だけがあるので(一般にはそれは平行成分を持たないとして)、
それのABとDCの交点P、ADとBCの交点Q、さらに直線v=PQを作れる。
またACとvの交点R、BDとvの交点Sを作れる。

v上にPRQSがこの順に並ぶ(普通の四角形から作図をすればわかる)。
PQを直径とする半円周とRSを直径する半円周の交点をOと名付ける。
ここまで平面幾何的である。さてここまでの意味とここから何ができるか。

答はvで平面ごと折り曲げてOを空間的位置に持っていきABCDを投影すると
Ovと平行な平面に正方形が現れる、であるがそうであることの幾何学の説明。

(1)Ovと平行な平面に四角形A'B'C'D'が現れているのなら、△POQ = △B'A'D'

(2)面OABと面ODCの交線はOP、面OADと面OBCの交線はOQ
かつOvと平行な平面で断面を取っているなら、OPとA'B'とD'C'は平行、OQとA'D'とB'C'は平行
すなわちA'B'C'D'は平行四辺形

(3)作り方からOR⊥OSであるが、Ovと平行な平面のA'B'C'D'について
ORとA'C'は平行、OSとB'D'は平行、よってA'B'C'D'の対角線は互いに垂直に交わる。

平行四辺形で一つの角が直角で対角線が垂直に交わるのは正方形である。

ラウスフルビッツの制御工学問題今日できないな。もっと深い。
ここにこだわりの分野を見つけたのでしっかり取り組む。
ということで用意テーマが無くなったので雑学を語ろう。
昨日も今日も半日使ったんですがね。

抽象代数の時代は可換環論の研究が非常に盛んだった。
それと同じ重さがある。あまりやっている人は少ないようだが
ベルヌーイ数や岩澤理論へ直接つながっていく。

どうしてそんな重要分野であることを見つけたのかと概説。
テイラー(マクローリン)展開 f(x) = Σ[k=0･･∞] ak x^k
f(x)ではなくこのakを先に取る。

f(x)はいかなる微分方程式を満たすか。
周期性はどんな状況で出るか。
何らかの飾った変換の後で周期性が取れる状況もある。
x^kをk^-sに変えた数列に置き換えることは積分変換でされる。
　
　
もうわかったはず。akを先に取る自由性からの整理は
現代数学には抜けて落ちている。
先に微分方程式、先に関数、またはベキ級数環の抽象論。これが現代。

ラウスの問題はこのようなところの問題である。

またユークリッド互除法という計算がある。
互除法アルゴリズムは行列式計算の部分集合として埋め込まれるか？
もし入っているなら誰も見つけていなくてもそのうち見つかることが言えるが。
フルビッツの問題はこれである。

通常のxの高次方程式があるとする。
これがとある行列の固有方程式だったらどうだろう？
このとき構造分解が出来ることになる。
ではその背景にある行列をどうやって求めるか。
同じものを出す行列の集合とその中にある構造は何か。

こういう視点があるときそこに大抵は新しい定理および証明と
質的に新しい解法がある。むしろそれは見つけなければならず視点を導入して
取り組んだらその仕上げ。昔から数学のプロはそういう縛りでしていた論。

今回触れた系統の問題は、整数論の散発断片的な結果をそのまま根拠づけて
いることが多い。だから抽象論とは別個に集中攻略すると知識が増える。
複素数または実数数直線の中で領域を定めて、
有理整数係数の多項式について、与えられた不等式をその領域全体において
満たすものが存在するか。こういう存在問題。
教科書を見るとそこには知らなかった結果がいっぱい出ている。
不等式は様々な推論の根拠となる。
　
　
線形代数のn成分の所に方程式のn個の根を入れたり、その逆は上の話。固有値と根。
方程式の根の解体。ラマヌジャン予想を書き出すのにこの手続きあるのは
知っていると思う。抽象論からもう一度係数を自由自在に扱う研究に戻る。

適当な数集合を係数の多項式が、実根のみを持ち、そのような多項式2つが
互いの根を隔離している時、誘導される性質の全体の論理式集合を定めよ。
ラウス規則とフルビッツ規則はこの話を使って証明される。展開のxにixを
入れることで偶数番目と奇数番目が実だけ虚だけ2つの多項式に分け、
その満たす性質がラウス。

制御工学ではやり方だけが教えられる。でもその上まで含んだ全体の世界観、
その中の一隅がこの定理というようにできればいいと思う。
それを学びまたは導き出して紹介したいのだけれど数か月後の再訪になるかな。

今日は関数解析、来週は行列の特異値というもの。
固有値は知っているだろうが固有値概念の最近流行の拡張である。

とは言うもののあまり書けないのでまた雑談。
基本的な話と関数解析から新しい分野へのインスパイアのようなものを記してみよう。
　
　
適当な実数区間や複素数領域上で定義されている通常の連続関数。
ここに関数に関数を対応させる線形作用素Aがあるとする。
その一つは微分作用素だし正準変換なども有り得るだろう。

関数はフーリエ解析などで基底に係数を掛けた無限次元集合の中の存在。
Aはその世界の行列に相当し、固有値が存在する。

これがスペクトルと言われ、負値では離散、正値では連続などと
物理の束縛と自由運動をなぞっているかのような数学定理が出現する。
証明は今回ではなく用意が出来たら書く。
　
　
そもそもは積分作用素を扱っている実用な関数解析学が最初。それから抽象。
或る時間受けた影響の結果として或る時刻の状態が決まるという物理に近い積分方程式を扱った。
或る場を通り抜けたら再び自由になった粒子の運動はどう変化しているかなど。

フレドホルム積分方程式と検索すればどんな感じのかはわかるし
これを関数空間と積分作用素として見て分析する。
　
　
歴史的にヒルベルトなども活躍していて弟子との本が現役参考書。
名前いかめしいのだが現代人として見ると物理数学などで題材として採られて
いる知っているものばかりの印象受けるかも。

すなわち周知の内容で、寺沢が全部写し取ってより広げている形となっている。

(x|A|x)/(x|x) という量を考えよう。
(x|は横ベクトル、Aは行列、|x)は縦ベクトル
分母分子とも計算結果はスカラーなため割り算がwell-defined。

これをAの状態xにおける期待値と呼ぶ。
ベクトルを横を向けようが同じものだし、(x|x)は自分自身のノルム。
ノルムは各成分の(絶対値の)2乗の和という形になっている。
横に向ける時に成分ごとの複素共役を取るのが慣例なので結果は絶対値のとなる。

分母をそのようなもので割るのは、状態xが定数倍でも同じものと考えよう、
xはベクトルでその成分の分配が比率として重要だが、外側からの定数倍はあまり
重要ではない、という意図。
　
　
さて上のは統計分布における観測量Aの期待値の式でもある。
量子力学も統計分布の一種なので(実際には分布していない仮想的な虚数方向への分布)
式の形は同じものを持つ。量子力学の統計とは違う異常さとして観測すると
観測演算子の固有状態に状態ジャンプする。

制御工学においてやはり演算子が登場する。
現代制御はこれよりももう少し導入はチープにするのだが、
あえて関数解析を持ってきて量力と同じようなことをするように高級化する。

(x|A B C F C^-1|x)/(x|x) とかは演算子の並び積の期待値と読める。
このような方法は制御工学の一つの精密化を与える。よって工学に関数解析は登場する。

関数解析特有のトピとして、数列の収束というものを用いた表現、
これは固有関数の係数を並べた数列は適当な形に収束しているというフレーム要請である。
正規作用素、作用素代数などいくつかのトピックがあり、磨き込むほどに
統計や量力に味が出て細かい性質が表れてくるのが関数解析分野なのである。

これで量子力学の数理がかなり解決したといわれているのだが
ヒルベルトに関して残念に思うのは場の量子論の方に興味を持っていてほしかった。
一般相対論でアインシュタインに対抗したその手合いの数学者なら必ずやオリジナルな
見識を切り開いていただろうに。そうすれば原子核物理に直接役立つ知識を
ヒルベルトから我々は得れたろう。もったいないことだ。

さて新しい分野へのインスパイア。教科書自体は関数解析は代数や幾何やルベーグより
よほど読みやすい(本当)ので気が向けばまとめるが各自で。

場量子・ガロア・代数解析・特異値・異種距離(と量子相関)で、関数解析を広げれる。
関数解析のフォンノイマン作用素環などに制御の演算子を用いる。
また特殊関数が今あるように選び出されている根拠となる視点を与える。
　
　
それぞれ一言ずつは言った方がいいのだろうが、場量子。
(x|A|x)/(x|x)という式は実は2次形式という分野ともつながっている。
ところがKdV方程式や、QCD等の場の量子論では全体の真空海が2次ではなく3次や4次であり
精密な(x|A|x)はグラフ展開によって正式な値を取得する。この技術、
実理工学でのグラフ展開技術は逆に関数解析に戻り豊かにして分野を進める。

ガロアは有限次元ベクトル空間に方程式の解がそれを作っているとする構造を仮定して
置換群の入れ子と拡大体との対応をさせる。関数解析は無限次元ベクトル空間である。
何かが拡張されてここにガロアがそのまま使えると思われる。

代数解析は以前書いたが、多項式商代数の世界に微分作用素の世界を作る。
またそこからもう一度拡張して擬微分作用素にして扱う。その関数解析もある。

特異値は固有値の拡張で、固有値は固有展開やスペクトルで使うのだから特異値も使いたい。
距離についてLp距離や整数論的距離。距離の分類定理は定立されるべき。

演算子代数が何種類かの作用素環になるが、それがどれになるか実現象を作用素環で分類する。
特殊関数は基本的な例対象だが、これの構成分類定理も必要。量子相関は略。あと幾何の層の所にこのシステムを乗せるのも。